数学发展简史（石拓/编著）

第十三章 各种几何

       自从17世纪的法国数学家笛卡尔（Descartes）和费马（Fermat）建立了解析几何之后，人们开始热衷于代数学和分析学，几何的综合方法，受到了冷落。不过，因为几何自身优美的结构，还是吸引了不少的人，英国的数学家麦克劳林（Maclaurin，公元1698——1746年），就是其中的一个。麦克劳林（Maclaurin）始终坚持综合几何的方法，因此几何学在那个年代仍然保持着一定的活力。

       到了19世纪，人们提出了一个关于解析几何学的问题，这个问题说，解析几何究竟是不是几何？

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13.2.5 非欧几何的意义（1）

       自古希腊以来的二千多年，数学领域内的非欧几何的创立，是一项重要的革新。但是，这项革新在19世纪中期，并没有引起人们的重视。

       后来，因为高斯（Gauss）去世后，他的信件公开发表，以及罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）和波尔约（Bolyai）的论文，被人写进了数学著作，所以非欧几何得到了人们的充分的重视。

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13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（6）

       罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）是俄国人，毕业于俄国的喀山（Kazan）大学，并且毕业后一直在喀山（Kazan）大学工作。波尔约（Bolyai）是匈牙利人，毕业于奥地利的维也纳帝国工程学院，做过匈牙利的军官，生活在匈牙利。

       罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）和波尔约（

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13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（5）

       1830年左右，罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）得到了他非欧几何中，作为曲线y=f(x)在点(x,y)的弧微分ds的公式（8）：

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13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（4）

       他用纯粹分析给出三角学。他给出了在三角形ABC中主要的三角公式（图13.2），如果边长为实数时，有下面的（4）：

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13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（3）

       接下来，罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）给出了他的三角学。他从确定夹角π(a)出发，假如全圆心角（全中心角）是2π（360⁰），他给出了平行角π(x)正切的关系式（1）：

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13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（2）

       罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）在他的上述假设中，虽然，这样的平行线是欧几里得（Euclid）意义下的（与AB平行），即：给定直线外的任一点，有且只有一条直线与给定的直线平行。但是，从罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）对这类直线取法的过程可知，过直线AB外的C点，有无穷多条（至少有两条）与AB

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13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（1）

       1835年到1837年的几年中，罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）发表了一系列的有关非欧几何的论文，由此建立了非欧几何（他自己称之为虚几何）。

       罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）发现，欧氏几何中的那些不依赖平行公理的定理，同样适用于非欧几何。于是他放弃了平行公理，因此非欧几何不适用那些依赖于平行公理的定理

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13.2.3 非欧（Euclid）几何的产生（3）

       然而，高斯（Gauss）的非欧几何研究，除了与友人通信中的只言片语，以及那个大地测量实验外，他没有发表过任何的论文。但是他的见解，足以列于创始人之一。

       非欧（Euclid）几何的建立者，是俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky，公元1793——1856

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13.2.3 非欧（Euclid）几何的产生（2）

       18世纪末，关于平行公理不能被证明的问题，至少在德国的哥廷根（Gottingen），已经成为了常识。德国数学家高斯（Gauss，公元1777——1855年）也是知道的，但他仍然认为物质空间是欧氏几何（其实不然）。因此，高斯（Gauss）还是试图从其它的假设来证明平行公理，结果他也没有成功。

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13.2.3 非欧（Euclid）几何的产生（1）

       1763年，德国数学家克吕格尔（Georg S.Klugel，公元1739——1812年），在他的论文中给出了一个充满哲理的论述，他说：人们之所以接受平行公理是真理，是因为经验的缘故。因此，公理的实质在于符合经验，而不是因为不证自明