数学发展简史（石拓/编著）

12.2.8 简短的结语

       复变函数起源于18世纪的达朗贝尔（d’Alembert）、欧拉（Euler），以及拉普拉斯（Laplace）的工作。19世纪的柯西（Cauchy）、黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass），他们给予了这门学科的主要理论基础，使之成为一门前景广阔，极有应用价值的数学分支，他们是复变函数的主要奠基人。

       19世纪末，法国数学家古尔萨（EdouardGoursat，公元1858——1936年），他在关于沿闭围线

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12.3.1 康托（Cantor）的集合论（1）

       人类关于集合概念的历史，可以追溯到古希腊，它是数学上的原始概念之一。可是，关于集合理论的探究，数千来一直停滞不前。这是因为人们始终无法理解无穷集合的概念，例如，芝诺（Zeno）悖论（龟兔赛跑）的实质与无穷集合有关。再如，亚里士多德（Aristotle）认为，集合只能是潜在的无穷，也就是说，无穷（大或小）是一种过程（无穷过程），不能是实实在在的整体（无穷整体）存在。

       后来，到了中世纪，哲学家们因为无穷是否实实在在存在的问题，继续考虑古希腊时期留下的两种意见，但

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12.3 实变函数论

       自从17世纪微积分创立以来，到了19世纪，经过将近二百年的时间，数学家们关于微积分理论的研究，日趋完善。

       微积分是建立在函数理论基础上的一门数学分支，而积分是函数论的一个主要研究方向。这是因为，积分的本身就是一个函数，因此有些特殊的函数，基本可以通过积分的方法，或者将积分概念扩充的方法来解决。可是，到了19世纪，数学家们例举出了许多奇怪的函数，例如，是连续函数但不可导、可积函数序列的极限不可积，等等。因此，微积分的基础遇到了挑战，它的进一步发展遇到麻烦。

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12.2.7 保角映射及其它（6）

       关于复变函数的值域研究，1897年，法国数学家皮卡（Picard，公元1856——1941年）在他的论文中，他证明了后来被称为的皮卡（Picard）定理。皮卡（Picard）定理，由小定理和大定理二个定理组成。

       皮卡（Picard）小定理说：如果函数f(z)是整函数，且不是常数，则函数f(z)的值域，或者是整个复平面，或者只去掉一个点。也就是说，任何不为常数的整函数，一定是无界的。作为比较，刘维尔（Liouville）

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12.2.7 保角映射及其它（5）

       亚纯函数是一种在开平面上，除了极点外，无其它奇点的解析函数，或者，在区域内除一些孤立点外的全纯函数。

       1876年，魏尔斯特拉斯（Weierstrass）证明了一个关于亚纯函数的定理：一个亚纯函数可以表为两个整函数的商。

       1877年，瑞典数学家米塔—列夫勒（Mittag-Leffler，公元1846——1927年），把魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的定理进行了推广，得到了米塔—列夫勒（ Mittag-Leffler

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12.2.7 保角映射及其它（4）

       整函数是一类在整个开平面上的正则函数（全平面可导或处处解析），唯一的孤立（本性）奇点是z=∞的解析函数，它包括多项式，指数函数，三角函数等。对于这类函数，刘维尔（Liouville）定理说：每一个有界整函数是常数（13.1.2.1）。

       最简单的整函数是多项式，也就是有理函数。19世纪40年代，魏尔斯特拉斯（Weierstrass）把实多项式的线性因子因式分解定理（一次因式的乘积）推广到包括超越函数在内的整

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12.2.7 保角映射及其它（3）

       1870年，德国数学家诺依曼（CarlGottfried Neumann，公元1832——1925年）和法国数学家施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz，公元1843——1921年），他们给出了黎曼（Riemann）保形映射定理，在单叶单连通平面区域，映射到一个圆的证明。但他们没能解决多叶单连通区域时的情形。施瓦茨（Schwarz）是魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的学生。

       不过，虽然黎曼（Riemann）保形映射定理的证明，没有完全解决，但是某些特殊

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12.2.7 保角映射及其它（2）

       黎曼（Riemann）在他的博士论文（1851年）中，他给出了一个关于保形映射的定理，这个定理说：包括黎曼（Riemann）面上的单连通区域在内，给定两个单连通平面（扩充的Z平面），复变函数可以1-1对应，并且相互保形映射。如果一个曲面上的一个内点和一个边界点，可以对应地映射到另一曲面上任选的内点和一个边界点，那么整个映射由此被确定。

       黎曼（Riemann）的这个定理中，有个特殊情况，即后来被称为黎曼（Riemann）保形映射定理。

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12.2.7 保角映射及其它（1）

       黎曼（Riemann）在1851年的博士论文中，还给出了复变函数保形映射的一些应用。关于复变函数的保形映射问题，高斯（Gauss）早在1825已经研究，他所得到的结果相当于给出：保形映射是由任何一个解析函数w=f(z)所建立的这个事实，但高斯（Gauss）只有图形的表达，没有严格的证明。当他的学生黎曼（Riemann），建立了黎曼（Riemann）面后，黎曼（Riemann）关心的是，能否把保形映射推广到黎曼（Riemann）面上。

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12.2.6.1 黎曼简介

       1826年，黎曼（Riemann）出生于汉诺威王国（Kingdom of Hanover，公元1814——1866年）（后属德国），父亲是牧师。

       1846年，黎曼（Riemann）进入哥廷根大学，学习神学，后来转学数学。曾去柏林大学学习数学，后又回到哥廷根大学，是大数学家高斯（Gauss）和著名物理学家韦伯（Wilhelm Weber，公元1804——1891年）的学生，高斯（Gauss）的博士研究生。

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12.2.6 黎曼（Riemann）的多值函数（7）

       黎曼（Riemann）分析了阿贝尔（Abel）积分后，他研究了曲面上的两类函数，第一类是曲面上的单复变函数，它的奇点是极点；另一类是，在具有横剖线的曲面上是单复变函数，但在横剖线上是不连续函数。并且，黎曼（Riemann）证明了，第一类函数是代数函数，第二类函数是代数函数的积分。

       黎曼（Riemann）的关于阿贝尔（Abel）积分的研究方法，与1860年左右魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的方法，恰好相反。魏尔斯特拉斯