数学发展简史（石拓/编著）

13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（5）

       1830年左右，罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）得到了他非欧几何中，作为曲线y=f(x)在点(x,y)的弧微分ds的公式（8）：

于是，可以算得半径为R的圆的周长C，是（9）：

并且他证明了，在非欧几何中的圆面积S为（10）：

       罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）根据级数：

当R非常小的时候，他略去了高阶项后，得到欧氏几何中的圆周长C，即，从（9）：

 

从（10）得到，欧氏几何中的面积S

这说明，非欧几何在半径非常小的空间内，是欧氏几何。换言之，非欧几何要在非常大的空间中，才会与欧氏几何有显著的区别。因此，在高斯（Gauss）实验中，他们所取的那个三角形实在是太小了。

       因为高斯（Gauss）关于非欧几何的研究，除了只言片语，没有系统的论述，所以非欧几何的创建，被公认为是罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）和波尔约（Bolyai）各自独立完成，于是就有了谁先谁后的问题。

       （待续）