13.2.4非欧几何（罗巴切夫斯基的）（1）
2025-09-30 08:34:31
标签： 原创科技著作
数学发展简史（石拓/编著）
13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（1）
1835年到1837年的几年中，罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）发表了一系列的有关非欧几何的论文，由此建立了非欧几何（他自己称之为虚几何）。
罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）发现，欧氏几何中的那些不依赖平行公理的定理，同样适用于非欧几何。于是他放弃了平行公理，因此非欧几何不适用那些依赖于平行公理的定理。
罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）在他的没有平行公理的几何中，给出了这样的一个假设：
设AB是直线，C是直线外的一点，p与q是过C的直线，a是点C到直线AB上D点的垂直距离，p与a（CD）和q与a（CD）的夹角，记为π(a)（图13.1所示）。
过C点的所有直线，对于AB而言分为两类，一类是与AB相交的直线；另一类是不相交的直线，p与q是这两类直线的边界线（属于不相交的一类），称边界线为平行线。
也就是说：C是与直线AB的垂直距离a上的点，所有过C点的直线分为两类，一类是过C点的直线，它们与a的夹角小于π(a)，那么这类直线与AB相交，称为相交直线；另一类直线，则是过C点而不与AB相交。
过C点与直线AB成角π(a)的两条直线，是平行线，这时两直线的夹角π(a)，称为平行角。构成平行角的两直线是平行线。
（待续）
13.2.4非欧几何（罗巴切夫斯基的）（1）
数学发展简史（石拓/编著）
13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（1）
1835年到1837年的几年中，罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）发表了一系列的有关非欧几何的论文，由此建立了非欧几何（他自己称之为虚几何）。
罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）发现，欧氏几何中的那些不依赖平行公理的定理，同样适用于非欧几何。于是他放弃了平行公理，因此非欧几何不适用那些依赖于平行公理的定理。
罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）在他的没有平行公理的几何中，给出了这样的一个假设：
设AB是直线，C是直线外的一点，p与q是过C的直线，a是点C到直线AB上D点的垂直距离，p与a（CD）和q与a（CD）的夹角，记为π(a)（图13.1所示）。
过C点的所有直线，对于AB而言分为两类，一类是与AB相交的直线；另一类是不相交的直线，p与q是这两类直线的边界线（属于不相交的一类），称边界线为平行线。
也就是说：C是与直线AB的垂直距离a上的点，所有过C点的直线分为两类，一类是过C点的直线，它们与a的夹角小于π(a)，那么这类直线与AB相交，称为相交直线；另一类直线，则是过C点而不与AB相交。
过C点与直线AB成角π(a)的两条直线，是平行线，这时两直线的夹角π(a)，称为平行角。构成平行角的两直线是平行线。
（待续）