数学发展简史（石拓/编著）

13.2.4 非欧几何（罗巴切夫斯基的）（4）

       他用纯粹分析给出三角学。他给出了在三角形ABC中主要的三角公式（图13.2），如果边长为实数时，有下面的（4）：

（4）                                            1.sinπ(c)=sinπ(a)sinπ(b)

                                                     2. sinA=cosBsinπ(b)

                                                     3. ctgπ(a)=ctgπ(c)sinA

如果边长为虚数时，上式（4）用ia、ib、ic，替代a、b、c。

        因为，虚角的三角公式，可用双曲函数替代，因此从罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）公式，可以推得双曲函数。例如：根据双曲正弦（a）：

以及（1）中的第二式（b）：

从（a）和（b）得：

于是，（4）中的3.可以写成双曲函数（5）：

       三个角分别是A、B、C的球面三角形面积S，在欧氏几何中是（6）：

（6）                                             S=R²(A+B+C-π)

其中的R是球面的半径。在非欧几何中是（7）：

（7）                                            S=R²[π-(A+B+C)]

（7）相当于用虚数iR，替代了（6）中的实数R。

       （待续）