————答08考研朋友wyky同学

龚成通　 http://blog.sina.com.cn/slsq

　　9月16日答08考研朋友wyky同学问

　　　　老师您好！
    　　我想请教一下，对于不连续的可积函数它的原函数一定连续吗？
   　　 对于分段函数，每一段积分后，都有个常数，那最后积分结果的常数怎

　　　　么确定？
   　　 急切盼望答复！

　　经常有同学捧着某些考研辅导书来问类似的问题．

　　我的回答是“可积函数的原函数为什么一定是个连续函数？”是个伪命题，我的回答，首先是这个问题的前提错了：“可积函数并不一定有原函数”．所以根本不可能有“可积函数的原函数一定是个连续函数”这样的结论，这是某些考研辅导专家是在严重误导．

　　函数“可积”并不是有“原函数”的充分条件，只有函数“连续”才是有“原函数”的充分条件（并不是必要条件）．所以说函数“连续”并不是有“原函数”的必要条件，因为确实可以举出“不连续的函数也是可能会有原函数”的经典反例的（见附注），但这已经有点偏离考纲了．

　　原函数的概念与导函数的概念是“互逆”的“伴随概念”，根据达布定理“可导函数的导函数只可能有振荡间断点”的结论，可支持我的观点“可积函数并不一定有原函数”．

　　归根结底，是因为可积函数可能有第一类间断点（可去间断点或跳跃间断点），这是就必定没有原函数．

　　“可积”的概念是对有限区间上的“定积分”而言的，没有“可积函数的‘不’定积分”问题，从而08考研朋友wyky同学的第二个问题，一般考研辅导书上的关于“对于分段函数，每一段（不定）积分后，都有个常数，那最后积分结果的常数怎么确定？”也是一个伪问题．

　　因为这要看这个函数（总体）是不是连续？

　　即使分段连续，如果总体不连续（实际上就是分段点处不连续），那么就谈不上原函数和不定积分，也更谈不上常数应该如何确定了．