（接昨天博文）

师：请大家打开书，再来看课本第34页“太阳对行星的引力”这一部分的内容，体会刚才提出的“路径”和“思考流程”。

生：（阅读相应内容）

“太阳对行星的引力”部分教材内容

师：看好了吗？还有什么问题吗？

生：老师，为什么在推到的过程中，要将行星运动的周期替换掉呢？

师：嗯，再推到太阳对行星的吸引力的时候，教材确实通过开普勒的第三定律，在周期和半径之间进行了一次替换。有谁知道为什么吗？

生：周期和半径有关。

师：是啊，在上节课的学习中我们知道，半径越大的行星，周期也越大，周期和半径之间有相互制约的关系，这个关系就是开普勒的第三定律。而且这段教材开宗明义地说：“我们很容易想到，太阳对行星的引力F跟行星到太阳的距离r有关”，这就是替换的缘由。以便通过推演，得到引力和距离r之间的单自变量函数关系。这样的关系比较简单，易于理解。

师：同学们还有其他问题吗？

生：（摇头，表示没问题）

师：老师还有几个问题，想请教一下同学们。

第一，开普勒第三定律的表达式为a³/T²=k，为什么在这里写成了r³/T²=k？

生：行星做匀速圆周运动，它的半长轴就是圆运动的半径r。

师：明白了。第二，关系式F=4π²k·m/r²是根据向心力公式求出来的，是行星做匀速圆周运动所需要的向心力。它和太阳对行星的引力有什么关系？

生：行星做匀速圆周运动的时候，两个是一样的。

师：一个是行星做圆周运动需要的向心力，一个是太阳对行星的吸引力。当需要的力大而吸引力小的时候，行星就会远离太阳而去；当需要的力小而吸引力大的时候，行星就会向着太阳而去；只有需要的力正好等于太阳的引力时，行星才可以做匀速圆周运动。现在我们已经界定了行星的运动是匀速圆周运动，因此求出行星做匀速圆周运动所需要的向心力，就等于知道了太阳对行星的吸引力。

再看一个问题，这是徐鑫、殷杰等同学提出来的：在关系式F=4π²k·m/r²中的 k 与什么因素有关？

生：（有些犹豫）应该与太阳有关吧。

师：看来不敢确认。我们不妨来做一个想象实验。假如在太阳的位置上再增加一个和太阳相同的天体，那么该天体是否也会对行星产生吸引力？

生：是的。

师：从力的合成的角度看，现在行星受到的力增加了一倍，而如果将这个新天体和太阳看做一个整体，相当于太阳的质量也增加了一倍。由此可知，k与什么因素有关呢？

生：太阳的质量。

师：这是我们的一个想象实验，事实也表明，对同一个恒星的所有行星来说，k是一个常数，这个常数跟恒星的质量有关。

通过对上述三个问题的讨论，我们对教材中的“太阳对行星的引力”这部分内容有了更加深入的理解和认识。接下来，请大家再来阅读教材中“行星对太阳的引力”与“太阳与行星间的引力”两部分内容。

生：（看书，思考）

“行星对太阳的引力”与“太阳与行星间的引力”两部分教材内容

师：看好了吗？有没有问题？

生：“行星对太阳的引力”这部分内容表述起来很简单，但读起来似乎有些可信，又有些不可信，说不清。

师：教材用的是类比的方法，但过程过于简单，会让我们感到有些疑惑。我这样来类比一下，看同学们是否好理解些。

我们知道，行星绕太阳做匀速圆周运动，我每隔八分之一周期在行星的轨道上选择一个点，分别标注为A、B、C……。现在我们变换一下参照系，选行星为参照物，那么太阳会做什么运动呢？

师生互动：（分别找出与行星位置A、B、C……对应的太阳位置，标注在以行星为圆心的新图上，很容易发现，太阳绕行星运动的轨迹也是一个圆。）

师：既然也是一个匀速圆周运动，是否可以用刚才推导“太阳对行星的引力”的方法，一步步地推出行星对太阳的引力呢？

生：可以。

师：推导的过程就不重复了，请同学们说说看，如果用一个等式来表示的话，行星对太阳的引力应该如何写？

生：F’=4π²k’·M/r²

师：慢点，为什么写成k’呢？

生：k’表明这是一个和行星质量有关的常数。

师：非常好！你们理解的很到位。现在我们来思考兰得江、刘玉坤、范凤娇、郝子雨等同学在预习中提出的问题：如何由F、F’得出太阳与行星之间的引力公式？

生一：书上已经有了啊。

师：是啊，不过书上用两个正比的关系概括得出太阳与行星之间的引力公式，这种方法同学们平常不大用，因此感觉上不太好理解。这也就是几个同学对此都有疑问的缘故吧。

现在我们换一个思路来看看。F与F’是一对作用力与反作用力，这个大家没有意见吧？

生：没有。

师：根据牛顿第三定律，F=F’。我们可以进一步得到如下的关系：k’·M= k·m，变换成比例形式为：k /M= k’/m=……。这个比例式告诉我们，k /M这一比值是一个与中心恒星的质量无关的常数，对所有的天体都成立。既然如此，我们可以用一个新的常数符号C来替代，即k /M= k’/m=……=C。

现在，我们将F、F’两个关系式中的k、k’用天体的质量和常数C来替代，看看会得到什么？

生：F=4π²k·m/r²=4π²CM·m/r²

    F’=4π²k’·M/r²=4π²Cm·M/r²

啊，两者是一样的（惊叹！）

师：作用力和反作用力，不一样就奇怪了。

生：（恍然大悟，笑）

师：4π²和C均为与天体无关的常数，我们是否可以用一个新的常数符号G来替代？这样就得到太阳与行星之间的引力公式：F=GMm/r²

生：（喜悦的表情）

师：公式是得到了，但是疑问还是有的。霍亚宁同学就有一个问题：在F=GMm/r²中，F为矢量，M、m均为标量，r是标量还是矢量，G是标量还是矢量？（若G、r均为标量，公式左边的矢量如何等于公式右边的标量？）这个问题谁能回答？

生：（思考，互相询问的眼神）

师：这是一个好问题。我们先看看线速度的公式v=2πr/T，这实际上是线速度大小的公式，等式两边都是标量，速度的方向根据物体做曲线运动的轨迹切线方向来判定。

生：哦，我明白了，太阳与行星之间的引力公式两边也都是标量。

师：你的反应真快。那你说说，太阳与行星之间的引力方向该如何判断？

生：相互吸引嘛，在太阳和行星的连线上。

师：确实如此。

同学们，我们从起点出发，沿着设定的路径和思考流程，已经来到了预设的终点。我们找到了太阳与行星之间的引力公式，还对这个公式作了简要的分析。但还有很多问题没有解决。比如说，地球和月亮之间的相互吸引遵循这一规律吗？坐在这里的你和地球之间的相互吸引遵循这一规律吗？任何两个物体之间的相互吸引是否都遵循相同的规律？在下一节课上，我们将从新的起点出发，再来一次思维之旅，探寻这些问题的答案。

下课。