3月30日上午，在四川德阳外国语学校的初二年级听了一节数学课。课题是“勾股定理的逆判断”，教学主要目标是让学生学会用a²＋b²＝c²来判断一个三角形是否是直角三角形。课前学生已经做了一定量的练习，教师要求学生按照组别将所做练习的题目和解答过程板书在教室里的黑板上，然后大家一起来学习和讨论。

教室除了靠窗的一面墙，其他的三面墙上都挂满了黑板，这给了各学习小组足够的空间，可以按照要求进行板书。每一个小组的代表讲解本组负责的问题是，其他小组就将椅子转过来，对着相应的黑板。距离远的同学还可以站起来听，以便能够看清楚同学的讲解和板书过程。我走进教室的时候，带了一把椅子放在教室的后面，没想到课堂上有一半时间是小组同学站在后面黑板上的讲解，我变成了第一排的学生，常常要为不挡住其他同学而挪动位置，似乎有点举足无措的味道呢，呵呵。

学生在一节课的时间里，讨论了近10道作业，有的属于概念理解方面的，比较简单；有的涉及到较为复杂的思维训练，要求较高。我对其中的部分课堂作业做了记录，并记录了学生的讨论要点，现选择几个片段简述如下：

1．若直角三角形的三条边同时扩大同一倍数，得到的三角形是：

        A．锐角三角形；                B．钝角三角形；

        C．直角三角形；                D．等腰三角形。

这是对勾股定理知识的复习。一个学生站在教室的侧面黑板前，向大家讲解自己的分析过程。这其中有一个细节引起了我的注意：在讲解的时候，这个同学一直蹲在地上，以便让班级里的每一个同学都能看到黑板上的板书，靠窗的一些同学也站了起来，以便自己视线被挡。在后面的讨论中，这种现象经常出现。细节的背后，体现出班级文化对学生学习过程的一种关注，是以人为本的教学理念在课堂中的具体体现。

学生的回答也很有意思：因为是直角三角形，所以有a²＋b²＝c²；依题意，三条边同扩大一倍，就有2a²＋2b²＝2c²，将2约去，还满足a²＋b²＝c²，所以选C。

该同学的话一说完，班级很多同学都表示了不同意，老师特别请他将题目再念一遍，体会“三条边同时扩大同一倍数”这句话的意思。该同学似乎理解了，但老师让他再板书一次的时候，他的思路还没有理顺，写不出来，让同学们都很着急。老师一看，就帮着该同学完成了板书：（2a）²＋（2b）²＝（2c）²。

在同学们都明白的基础上，老师又问了一个问题：前面一位同学2a²＋2b²＝2c²这样的写法有问题吗？请大家再将题目念一遍，体会“三条边同时扩大同一倍数”这句话的意思，学生明白了，三条边都扩大一倍，实际上是符合题意的一种特殊情况，如果都扩大根号2倍，前面一位同学的做法也是正确的。同时明白了边长的扩大其实不是某一个确定的值，有无数多种选择，但结果是不会改变的。

对于初二年级的学生来说，让他们一下子就理解“同时扩大同一倍数”这句话的意思，估计是有一点难度的，老师在这里给学生搭建了两个台阶，第一个是都扩大一倍，给出一个具体关系，第二个是都扩大根号2倍，在思考前面出现的具体关系，然后让学生体会倍数的多选性。由特殊到一般的思维方式，在这里体现的很充分。

学生的讲解与听课

2．三角形的三个边长分别为n²－1，2n，n²＋1（其中n＞1），它是怎样的三角形？

第一个学生上台之后，讲了一通但说不清楚，学生表示不理解，他也有点不好意思地回到了座位上。

第二个同学自动要求上台讲解。他说：既然n＞1，那就取n＝2好了，此时，n²－1＝3，2n＝4，n²＋1＝5，正好满足3、4、5的关系，所以是直角三角形。

老师提出了问题：n＞1说明n可以选取大于1的各种数值，不一定是2呢，还有没有其他的方式来证明呢？

第三个学生上台说，可以利用a²＋b²＝c²的关系来验证。代入数据之后发现三角形的长边是n²＋1，也就是a＝n²－1，b＝2n，c＝＝n²＋1，分别将它们平方，发现前两项的平方和正好等于最后一项的平方，所以是直角三角形。

老师鼓励了这种带字母进行运算的方式，并以此出发，对勾股定理逆判断进行了讲解。还口述了“判断一个三角形是否是直角三角形，通常用两个较短的边求平方和，与第三条边的平方进行比较，相等则是直角三角形，不相等则不是”的判断规则，并要求学生记录在课本上，并默述两遍。

字母运算是初二学生不太习惯的，他们善于从具体的数字出发来加以判断。教师首先认可学生带入数字进行判断的方式，然后指出要使自己的判断普遍成立，就需要从字母本身出发进行判断。这是对学生学习的一种引导。由此很自然地给出逆判断的途径和方式，自然流畅。

3．判断下列三角形是否是直角三角形：

      A．7、8、9；

      B．12、9、15；

   C．m²＋n²、m²－n²、2mn；（m＞n为正整数）；

   D．a²、a²＋1、a²＋2。

A和B很好判断，学生的讲解也很流利，但到了C之后学生卡壳了，希望老师给予知道。老师问：你们的困惑在哪里？学生说不知道哪个代表斜边，主要是2mn的大小不好确定。

老师进行引导，先写出一个关系式（m＋n）²＞0，得到m²＋2mn＋n²＞0，即m²＋n²＞－2mn，口中喃喃自语：等式右边是负的，似乎还是看不出谁大谁小。这是请求老师进行讲解的女孩说，老师我明白了，她立刻走到黑板前，写出（m－n）²＞0的关系式，并得到了m²＋n²是斜边的结论。

有了这样的基础和前面几个作业讨论，学生对字母运算有点感觉了，利用a²＋b²＝c²的关系，他们很快得出了C是直角三角形的结论。

学生的困难，尽量让学生自悟出来并加以表达，这是我在课堂上感受最深的一点。而且问题的设计也很有特点，前后之间的铺垫和递进关系是比较明显的，让学生总是能够再上一个问题解决的基础上探索新的问题，并不断深化对所学知识的认识。

    这样的教学，学校并没有给它冠以某一名称，如“某某教学模式”之类的说法，但学校是有要求的——“课堂教学要有兴趣”。我自己听的都很有兴趣，相信教室里的学生也是有兴趣的。