（接昨天）

师：我们在高三复习中，对物理学史的关注可能不够，对物理公式的关注度一定是最高的。现在请大家回忆一下，在万有引力定律和天体运行这一部分，常常用到的物理公式有哪些？

生：黄金替换式：GM=R ²g；

生：万有引力定律F=GMm/r²；

生：牛顿第二定律F=ma；

生：向心力公式F=mv²/r=mω²r=4π²mr/T²……

师：这些公式中，哪一个公式最为基础？

生：（开始说法不一，经过一阵的议论之后）牛顿第二定律。

师：确实如此。天体的运行问题，本身就是牛顿第二定律应用的典型事例。如果一个天体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，显然有GMm/r²=mv²/r，这一关系我们最为熟悉。有一个问题请大家思考：GMm/r²中的r与mv²/r中的r的含义相同吗？

生：（有些茫然，不知该如何回答）

师：看来这个问题有点难度。我们先来讨论一个问题，请大家在讨论的过程中体会两公式中r的含义。

例1：一颗卫星绕椭圆形的轨道运动。在A点所具有的速度大小为v₁，在B点所具有的速度大小为v₂，已知OA=a，OB=b，则v₁：v₂=？

A．a/b                  B．b/a                  C．√a/b               D．√b/a

生：（速度很快，口算）选D

师：速度确实够快的。我还是希望知道你们分析的过程。请大家一起来，把你们计算的过程告诉我。

生：在A点，有GMm/a²= mv²/（a）。

师：不慌，我先给向心力公式中的a加上一个括号，等会讨论。

生：在B点，有GMm/b²= mv²/（b）。

师：同理，我也给向心力公式中的b加上一个括号。

师：写出公式之后的数学计算很方便，关键是写公式之前，相关的概念是否清晰。在万有引力定律中，r的含义是什么？请大家依据定律的内容来回答。

生：两个质点之间的距离。

师：对。刚才的物理学史讨论，我们知道了，要用万有引力定律讨论问题，首先要进行建模，将物体等效成质点，r即两个质点之间的距离。据此来判断我们所写的万有引力公式，是否正确？

生：正确。

师：等式的左边没有问题。现在我们再来看等式的右边。请大家思考一下，向心力公式是针对什么运动得来的，式中的r的含义是什么？

生：匀速圆周运动，圆运动的半径。

师：现在所给的运动是匀速圆周运动吗？

生：是椭圆轨迹。

师：既然不是圆周运动，那a、b也就不是其做圆周运动的半径了。将其带入到向心力的公式中进行计算，显然就会出现错误。

师：但是，只有运动轨迹是圆，才能用向心力公式。天体的椭圆运动在什么情况下能等效成圆来处理呢？

生：椭圆与圆相差不是很明显的时候。

师：这是一种情况。牛顿通过地月检测，来证明其定律的正确性，采用的就是将月球轨道近似看作是圆轨道的方法。我们平时的相关练习也是如此处理的。但在这个问题中好像不能这样处理，椭圆的长半轴和短半轴数值上的差距还是很明显的。

生：（有点茫然）

师：我们不妨将目光聚焦在A、B两点。大家想一下，如果我们在A点选取一小段运动轨迹，这一小段轨迹可以做怎样的近似处理？

生：可以近似看做圆来处理。

师：是一小段圆弧。同样的，在B点也选取很小的一段运动轨迹，它也可以看作是一段圆弧。大家有没有注意到：A、B是椭圆轨道上对称的两点，那我们选取的两小段圆弧是否也具有对称性？

生：有。

师：这两段圆弧的半径多大还不清楚，但既然具有对称性，就可以用一个统一的字母R来表示。将R带入到我们刚才列出的两个方程式的括号中，答案会是什么呢？

生：选B。

师：可能大家还有点疑惑，现在请开普勒帮着我们证明一下。开普勒告诉我们，行星在运动的过程中，在相同的时间内扫过的面积相等。如果我们在A点和B点都选择一段很小的时间Δt，在这段时间内，他们扫过的面积是什么形状？

生：扇形。

师：因为时间很短，又可以进一步简化成什么形状？

生：等腰三角形。

师：请大家验算一下，看我们刚才的分析是否正确。

生：av₁Δt/2=bv₂Δt/2，因此B正确。

师：万有引力公式中的r与向心力公式中的r含义不同，不仅仅是当行星做椭圆运动的时候要注意，就是行星做匀速圆周运动，也要注意。

例2：两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

生：（一看到试题，就有共鸣）

师：这道试题我们很熟悉，在求两星总质量时，需要分别对两星运用牛顿第二定律，其中万有引力公式中的r就是试题中的R，而向心力公式的r则不是，且有r₁+r₂=R.。

生：（频频点头）

师：实际上，地球和月球也是双星。我们对月球运动进行分析时，采取了简化处理的方法。这种方式在物理学中是非常普遍的。从对一些简单的、理想化的现象分析中，了解物体运动的基本特征，然后逐渐增加变量，回到实际问题中。请大家进一步思考，在什么情况下，两个公式中r在数值上是相等的？

生：当物体做圆周运动的时候。

师：刚才的双星，不都分别做匀速圆周运动吗？

生：其中一个不能动。

师：这句话基本上说到点子上了。我们知道，所有的物体都在运动，不运动的天体是不存在的。但如果我们选择某天体为参照物，来研究别的天体围绕它的匀速圆周运动，则两个公式中r在数值上是相等的。我们研究地球的卫星时，采用的都是这样的方法。

师：在上述情况下，我们可以得到卫星做匀速圆周运动的运动学参量几个很有价值的关系式。师生一起得出：

师：由以上四个关系式可以看出，卫星做匀速圆周运动过程中，它的运动学量都唯一地取决于其运动半径r，这一点请大家深刻体会。

例3：某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r₁，后来变为r₂，r₂＜r₁。以E_k1、E_k2表示卫星在这两个轨道上的动能，T₁、T₂表示卫星在这两个轨道上绕地运动的周期，则：

A、E_k2＜E_k1，T₂＜T₁                        B、E_k2＜E_k1，T₂＞T₁

C、E_k2＞E_k1，T₂＜T₁                        D、E_k2＞E_k1，T₂＞T₁

生：（选择答案）

师：“受高空稀薄空气的阻力作用”这句话是一个“干扰因素”，有些人会因此而认为卫星的速度因阻力而变小。这是2000年的全国高考试题，就是考察我们是否知道卫星的运行速度、周期和其轨道半径之间有一一对应的关系。这点清楚了，答案也就明晰了。