在昨天的博文中，我谈到一个观点：对某一知识的学习，大体上要经历“感知——体验——经验”这样一个历程，将短时记忆转化为长时记忆，并内化于自己的认知结构之中，才有可能真正理解这一知识点，并在新的情境下回忆、提取出来，用于解决问题。

今天的博文，借助“椭圆”的概念教学，对“感知——体验——经验”的学习历程做一个诠释。这是不久前听的一节数学课，我对数学教学时外行，但比较赞同对任课教师在椭圆这一概念上所做的努力，这里谈一些自己的观点，不当之处，经请大家批评指正。

一、教学概要

教师在教学之初，向学生们展示了神州七号“嫦娥奔月”的相关图片，引出椭圆这一概念，并让学生们列举日常生活中的椭圆。学生想到了很多，比如地球、地球的轨道、鸡蛋、橄榄球、油罐车……等等。对于具体的物体，老师特别强调了“截面”，将椭圆的研究限定在一个平面内。

教师：椭圆的形状很美，它在生活中应用很广泛，从上面我们可以看到它在生活、建筑、天文学等多方面的体现和应用，因此我们很有必要对椭圆进行研究。那么满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢？

教师引导学生看书，找出教材上对椭圆的定义。

教师：知晓了椭圆的定义，我们能否以此来判断某一动点的轨迹是否是椭圆呢？请确定下述问题的答案：

已知两定点F₁、F₂且|F₁F₂|＝4，则到F₁、F₂的距离之和为4的点M的轨迹是：

    A．椭圆        B．线段        C．圆        D．无轨迹

学生对这一问题进行分析，但看来认识不一，有选椭圆的，有选线段的，还有选无轨迹的。教师引导学生将这一问题对照椭圆的定义进行分析，明确了该问题情境有两个定点，动点到两个定点的距离之和为常数，似乎完全符合椭圆的定义。教师让学生再进一步研究概念，学生又发现椭圆的定义中还有“常数＞|F₁F₂|”的要求。

在此基础上，老师又让学生做了一个工作，给出图钉和定长的细线，要求学生按照问题的要求，在纸板上确定两个定点的位置，然后选择符合要求的一段细线，实际动手操作一下，看得到的轨迹是什么。通过这样的操作和讨论之后，老师和学生总结出了如下结论：对于两个定点F₁、F₂，如果动点到两定点的距离之和为一个常数，会有如下三种结果：

    当常数＞|F₁F₂|时，轨迹为椭圆；

    当常数＝|F₁F₂|时，轨迹为线段F₁F₂；

    当常数＜|F₁F₂|时，无轨迹。

经过这样的讨论之后，学生似乎已经明白了椭圆的定义，但老师还不放心，要求一个学生上台板书椭圆的几何方程。

学生：|MF₁|＋|MF₂|＝2a

学生写出这个方程就回到座位上了，另一个同学发现了问题，指出还要加一个限制条件：2a＞|F₁F₂|，否则就有讨论上述的三种可能了。这个学生的指正，引起了大家的共鸣。

老师：好，根据椭圆的几何方程，|MF₁|＋|MF₂|＝2a（2a＞|F₁F₂|），我们再来看上面的例题，要使答案B成立，对上述方程及其限制条件要做怎样的调整？

学生：2a＜|F₁F₂|。哦，不，应该是2a＝|F₁F₂|。

教师：要使答案C成立呢？

学生：|F₁F₂|＝0

教师：要是答案D成立呢？

学生：2a＜|F₁F₂|。

二、几点想法

1．重视概念教学

最近和一些数学方面的专家交流时，大家普遍感到教师在课堂上对数学概念的教学不够重视。很多教师在讲解“椭圆及其标准方程”这节课时，用在对椭圆概念理解上的时间是不多的。教师们可能有一种判断，认为椭圆的定义教材中写的非常清楚，白字黑字，只要看看书就能明了，没有什么多讲的必要。因此简单地引出椭圆定义之后，马上就将主要的精力放在对椭圆标准方程的研究上去了。

其实，写在书本上的文字，学生否是能够真的读懂，是要打一个很大的问号的。上述的案例告诉我们，学生读了椭圆的定义，其实并没有真正理解这一概念，否则就不会在处理老师所给的问题时，答案五花八门。教师花费了十多分钟的时间，才能学生理解了椭圆概念的三个要素——在同一个平面内；两个定点F₁、F₂；2a＞|F₁F₂|。

每一个概念都是后续学习的基础，很多难题、没有见过的新型问题，只要从学科概念的角度进行分析和研究，通常都能找到破解的办法。学生在理科学习中出现的大多数问题，都是因为概念不清造成的。重视每一个新学习的概念，让学生在第一次接触的时候都能有一个清晰的认识和正确的理解，是理科教师要特别关注的。

2．教与学的轨迹

如果认真研究这段教学，“感知——体验——经验”的学习历程是非常清晰的。

感知阶段：从生活中的椭圆到椭圆的定义；

体验阶段：对教师给出的选择题的处理，以及由此引发的讨论、动手操作。昨天的博文对体验进行了说明，即通过大脑的思维运动和动手做，对知识有一个新的认识。在本案例中，学生的体验是非常充分的。

经验形成：有了体验是否就一定有经验？教师要求学生写出椭圆的几何方程，学生考虑不周全的问题立刻就显现了出来。然后大家一起谈论，得到了一个抽象的几何方程，从体验到经验，学生的认识有了一次升华。教师为了使学生好不容易获得的经验更加牢固，又引导学生对给出的例题进行逆向分析，从满足答案的角度来改造几何方程。只有正确理解相关概念，这样的分析才能顺利完成。从教学现场看，教师得到了预期的目的。

当然，这样的教学，尚不能够让椭圆的概念深入每个学生的内心并内化于自己的知识结构之中，后面还需要进一步的巩固和适当的回忆。但有了这样的学习历程，学生能够很好地建立起椭圆的概念，明白线段、椭圆、圆等不同的曲线的方程的差异和联系，理解这些差异和联系对学生的内化是非常关键的。

3．预设和生成的关系

很显然，教师展示的选择题是预设的，这一预设本身，体现了教师对本节课的设计理念——重视椭圆概念的理解。学生出现的不同选择以及在解释这些选择时的各种有缺陷的表述，是生成的结果。我在研究教师设计的教案和学案的时候，没有看到其对从体验到经验这一阶段的预设。学生课堂上生成的这些学习信息被教师牢牢地把握住了，而且加以充分的运用，才有了“感知——体验——经验”这样一个学习的经历。

这个事实告诉我们，第一，最大的教育资源在学生身上，只要给学生动手、动口的机会，学生就会创造出非常丰富的教学资源；第二，课堂是非常复杂的，无论思考怎样周全，都不可能预料到课堂中的大部分现象。但课前预设的质量高，能够在课堂上激发更多的生成性教育资源。第三，正确处理好预设和生成的关系，有利于提高教育教学质量。