在昨天介绍的“椭圆的标准方程”这节课中，教师在和学生一起讨论了椭圆的定义之后，给学生提出了四个问题，要求学生根据这些问题自学椭圆的标准方程，然后对自学的情况进行汇报和交流。

一、教师布置的问题

1．当方程含有两个根式的时候，如何化简？

2．为什么能将a²－c²换成b²？这样代换的优点何在？

3．如何得到焦点在y轴上的椭圆标准方程？

4．如何根据方程确定焦点的位置？

二、问题的特点及学生的回答

1．问题1书本上有现成的化简过程，只要看看课本就会明白。

教师将此作为第一个问题提出来，有两个非常明显的意图：第一，引导学生注重课本的学习。学生要自主学习，起点在课本上，培养学生阅读学习内容的习惯非常重要；第二，引起学生的有意注意，让学生体会含有两个根式的方程在化简时的技巧，以便在今后举一反三，触类旁通。

2．问题2在课本中也有隐含的介绍，只要仔细阅读就能找到出处。

教师期望的答案是：体现简洁对称的美，让x、y与a、b建立起几何关系。

学生在回答过程中，不仅给出了教师期望的答案，而且还有一个同学发现，a实际上就是椭圆的长半轴，b实际上就是椭圆的短半轴（当然，他还没有学到长半轴、短半轴的概念，也没有给出这两个概念，而是上黑板图示了他的发现）。

3．问题3需要进行知识的迁移，在课本上找不到现成的答案。

教师期望学生从代数和几何两个角度给予回答。

在实际的课堂交流中，学生们充分展示了他们的聪明才智，从四个不同的角度对此问题给予了解释和回答。

学生一：采用类比的方法，对照课本中的图2.3和图2.4，明确焦点在y轴上，将标准方程中x、y的位置互换一下既得结果。

学生二：采用替代的方法，通过代数运算得到结论。

学生三：采用旋转图形的方法，根据x＝y，y＝x进行讨论分析。

学生四：借用教材后面的一个事例，给出一个椭圆，然后将其纵坐标乘以一个系数k（k＞1），使其变成一个正圆，然后给横坐标乘以系数k（k＜1），使其变成一个焦点在y轴的椭圆。这个同学提出了这一设想后，教师和学生一下子都不理解，要求该学生上台板演相关的过程，由于该生没有注意到两次的系数是不相同的，因此在黑板上用了不少的时间，但没有能够推出最终的标准方程。教师因为课前没有这方面的预设，也被学生的讨论给整糊涂了，也没能帮助学生理清思路。后来这一问题，变成了一个课后思考题，留给了学生。

4．问题4没有来得及讨论，因为下课的时间已经到了。

三、几点感受

1．概念清晰奠定了良好的学习基础

如昨天博文中的介绍，教师在引导学生学习“椭圆的标准方程”之前，对椭圆的概念进行了非常深刻的讨论，让学生充分理解椭圆概念的内涵。概念清楚，为后续的学习奠定了良好的基础。学生能够从不同角度思考和回答老师提出的问题，而且常常出乎教师的意料之外，这其实正是教师在概念上下大功夫的结果。

2．问题巧妙激发了学生的内在动力

提问几乎是每节课教师都要采取的教学行为之一。提问、思考、理解，这三个过程以动态的形式相互作用，来促进学生的学习、表现和成就的获得。但是，很少有人对提问进行系统而又深入的研究。有一个专家曾经对95教师的课堂提问进行了统计，发现在15分钟内教师提问的平均数量高达43个，但如果你去问一个教师，他肯定会否认，不承认自己有这么多的问题。

一分钟就要提问2～3个问题，这样的提问频率导致大多数的问题都是类似于是非判断题的性质，只要学生判断对错即可，不要求学生进行深入的思考。其实，未经思考就回答的问题是没有价值的，一堂课的问题不在于很多，而在于能够激发学生的思考，特别是一些深层次的思考。少量的、经过精心组织和陈述的、能够引发学生思考的问题，对学生的学习有着重要的促进作用。本节课教师设计的这几个自主学习的问题，就体现了这样的特点。

椭圆的标准方程，书本上有完整的推倒过程以及最终的结果，教师没有采用自己再讲一遍的方式，而是将相关的学习内容分解为四个难度要求逐级提升的问题，给学生搭建了一个很好的阶梯，让他们拾级而上。前两个问题得到了椭圆的标准方程，而且让学生了解了椭圆的代数关系和几何特点，后两个问题检验学生对知识的理解能力和迁移能力。四个问题实际上依然遵循“感知——体验——经验”这样一个学习历程，因为台阶铺设的合理，所以学生普遍感到有话可说，有话能说，对椭圆方程的感知和体验，就在这交流之中得到了升华。

对于第三个问题，教师因为没有思想准备，一下子没有反应过来，被“吊”在了讲台上，看上去似乎不够圆满，但反过来看也未必不是一件好事。我前面说过，理想的课堂就是让学生带着一些问题进课堂，在解决了这些问题之后，又带着一些新的问题出课堂。学生的学习积极性已经被调动了起来（四种分析方法就是证明），当他们看到老师也没能很好地解释这一问题时，会更加积极地在课后研究，以便和教师做更进一步的探讨。从这个意义上说，第三个问题又衍生出来了一个好问题。

3．遵循学情体现了教师的以人为本

按照教师预期的教学计划和教学内容，这节课的计划还没有来得及完成就下课了。我感受到在教学的过程中，教师内心是非常焦急的，因为这是一节公开课，教师当然希望有一个比较完满的结局。

但这样的焦急并没有表现在不顾学生的学习实际而去开快车上。在教学进度的预设和学生对问题深入讨论之间，教师选择了后者，让学生充分发表自己的观点，充分展示自己的思考过程，这种尊重学情、实事求是的教学观，是值得肯定的。每一个新知识的学习过程，大体上都要经历先慢后快的过程，在基本概念、基本规律上稳扎稳打、夯实基础，到了应用的时候就能够得心应手、加快速度了。