12．物理公式中的“＝”号

昨天在听课的过程中，几个老师就机械能守恒定律的公式应该是表达成E₁=E₂，还是E₂=E₁展开了讨论，这其实涉及到对物理公式中的“＝”号的理解。

在数学中，“＝”的含义比较单纯，它所表示的就是“＝”号两边关系式或者数字的量值关系。但将这一数学符号引入到物理公式之中后，人们赋予“＝”的含义是非常丰富的，这也是物理学习和数学学习的区别之一吧。

“＝”在物理公式中的含义大体有以下几点：

1）表示数值关系

所有的物理公式，都有这样的一层数学含义。这里就不专门列举了。

2）表达定义方式

不妨先写出几个物理量的定义式：R＝U/I；ρ＝m/V；E＝F/q；……。等号左边的这一类物理量我们称之为用“比值”的方式定义的物理量，它的一个基本特点是都描述了物体的一种固有属性，和等号右边相比的两个物理量没有关系。在这些定义式中，“＝”就兼有表征定义方式的意义。

牛顿第二定律的公式F＝ma，在进一步描述力的科学定义的同时，还给出了力的单位的定义方式：1N＝ 1kg·m/s²。

3）表示依赖关系

在数学函数式中，自变量和因变量之间的函数关系，反映了连个变量之间的相互依赖关系，这种关系在物理公式中也是存在的。

比如说速度公式：v_t＝v₀＋at，位移公式：s＝v₀t＋at²/2；比如说热力学温标与摄氏温标的关系式T=（t+273）K；比如说玻意耳定律的表达式：PV＝恒量；比如说端压公式：U=E－Ir；等等。

4）表示因果关系

在不少的关系式中，物理公式除了表达自变量和因变量之间的依赖关系之外，还非常明确地表达着两者之间的因果关系。并且按照一般的惯例，“因”放在等号的左边，“果”放在等号的右边。

比如说牛顿第二定律：F＝ma，就提醒我们，力是变化的原因，加速度是在力的作用下发生的结果；尽管两者是同时产生的。

比如说动能定理：F_合S＝E_k2－E_k1，就是说合外力做功是物体动能发生变化的原因，动能的变化则是合外力做功的结果。

在初中学习的光的反射定律，是这样表述的：反射光线跟入射光线和法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角。如果用公式表达反射角和入射角之间的关系，就应该写成这样的形式：i＝r，因为入射角i是原因，反射角r是结果。

5）表示方向关系

物理公式是矢量式时，等号通常还有表达两个矢量之间方向关系的功能。

比如说牛顿第三定律：F＝－F′，胡克定律F＝－kx，就分别通过“＝”、“－”告诉我们作用力F与反作用力F′、弹力F与弹簧离开平衡位置的位移x方向在一条直线上，而且方向相反。

如果方向不在一条直线上，物理公式中的“＝”还表示了一种运算法则——矢量合成的平行四边形法则。在合力和分力的关系式F＝F₁＋F₂中，在动量守恒定律的表达式P₁＋P₂＝P₁′＋P₂′中，“＝”就在提醒我们，F的大小和方向、系统作用前后的总动量的大小和方向要根据平行四边形法则进行分析和讨论。

6）反映量的特征

物理量包括状态量和过程量两种。这些量在某种情况下可以通过等式建立联系，但它们之间一定具有这样的特点：如果等式一边的物理量为状态量（与时刻或者位置对应），则等式另一边的物理量也一定为状态量；同样，如果等式一边的物理量为过程量（与时间、位移对应），则等式另一边的物理量也一定为过程量。

比如说动能定理、动量定理等，等式的左边和右边就都是过程量；比如说机械能守恒定律、理想气体状态方程、牛顿第二定律、动量守恒定律等，等式的两边都是状态量。

不同的物理公式中，“＝”所表达的物理含义是有所不同的，这要具体问题具体分析。也正是因为如此，也使物理学习有了很多值得探究的地方，增添了很多魅力。比如说牛顿第二定律，就包含了上述所有6个方面的含义；而电阻的定义式，主要就体现上上述第一、第二两个方面的含义。

现在再回到机械能守恒定律的表达式。我们通过上述分析不难发现，机械能是一个标量，是一个状态量，因此“＝”不反映两边的依赖关系、定义方式和方向关系。数值的关系、状态量之间的关系很好理解，它们之间是否存在因果关系呢？系统机械能守恒的过程，是一个在转化的过程中总量不变的过程，它的总量的大小取决于初始状态的总能量，从这个角度看，任何一个时刻的机械能的数值，都取决于初始状态的值，是有一定的因果关系的。如果这样的关系成立，按照约定成俗的“原因”在左、“结果”在右的表达方式，机械能守恒定律的表达式就应该写成：

                           E₁＝E₂，

即：E_k1＋E_p1＝E_k2＋E_p2

我查看了不同时期我国的高中教科书，很多书上都是用文字的方式表达机械能守恒定律的，没有出现公式。出现公式的教科书中，写成E₁＝E₂的有之，写成E₂＝E₁的也有之。我想，这可能是教科书的编者对E₁与E₂之间是否有因果关系的不同理解所造成的吧。