怎样让学生区分“量与率”？

                    ——“分数与除法”教学札记

   诸如 “一瓶饮料有2L，3人分着喝，平均每人喝了这瓶饮料的（    ），平均每人喝了（    ）L。”的练习，学生的错误率很高，尽管教师一遍一遍地讲解，学生还是屡屡出错。怎样教，学生才能较好地区分“量与率”呢？

   对于分数与除法的关系，很多教师的认识仅仅停留在“被除数相当于分子，除数相当于分母，除号相当于分数线，商相当于分数值”这个外在的形式上。事实上，分数的产生源于两个主要原因，一是度量的需要，二是除法运算的需要。用分数表示除法运算的结果（商），这是分数与除法的本质关系，至于用怎样的分数表示，才是“被除数相当于分子，除数相当于分母”这样的外在联系。在教学中，我们往往只关注了分数与除法的外在联系，而忽视了它们之间内在的本质联系。而分数与除法之间的本质联系恰恰是分数的另一重要意义，上述问题所暴露的就是对分数两种意义理解的混淆。“2L的饮料平均分成3份，每份是这瓶饮料的（   ）”，这是把2L看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的1份，这是检测学生对分数的意义（1）的理解；而“每份是（  ）L”是用分数表示除法结果的意义体现。因此，学生如果能够透彻理解分数的两种意义，就能较好地区分两处填空所对应的知识运用。

教学片断：

   出示：一瓶饮料有2L，3人分着喝，平均每人喝了这瓶饮料的（    ），平均每人喝了（    ）L。

   师：仔细观察，题目中的两个问题有什么不同？

   生：一个带单位，一个不带单位。

   师：不带单位“L”，让我们求的是什么？该怎样思考呢？

   生1：是求一个人喝的饮料是这瓶饮料的几分之几，把这瓶饮料看作了单位“1”，平均分成3份，1份就是1/3。

   请生1上前在黑板上画出线段图：把一条线段平均分成3份，每份是它的1/3。

   师：如果是一大桶饮料，有20L，3个人分着喝，平均每人喝了这批饮料的（   ）呢？

   生（笑）：还是1/3，因为是把20L饮料看作单位“1”，还是平均分成3份，每份就还是这些饮料的1/3。

   师：如果是一大缸200L的饮料呢？

   生（大笑）：还是1/3，因为是把200L饮料看作单位“1”，平均分成3份，每份就是这些饮料的1/3。

   师：你有什么发现吗？

   生：我发现求“每份是饮料总数的几分之几”，跟这些饮料是多少升没有关系，因为都是把饮料总数看作单位“1”，并不受饮料是多少升的影响。

   师：说得很清楚！我们再接着研究，第二个问题中带上单位“L”又说明了什么？

   生：它是问一个人到底喝了多少升。

   师：你觉得一个人喝了多少升与这瓶饮料一共是多少升有关系吗？

   生：有关系，这瓶饮料越多，每人喝的就越多，这瓶饮料越少，每人喝的就越少。

   师：怎么求平均每人喝多少升呢？

   生：2÷3=2/3（升）

   师：为什么得数写成分数呢?

   生：因为2除以3除不开，商就用分数2/3表示。

   师：根据分数与除法的关系，可以用分数来表示商。如果是一大桶20L的饮料，也是3个人分着喝，平均每人喝了多少升呢？

   生（笑）：20÷3=20/3（升）

   师：也是用分数表示商。如果是一大缸饮料共200L，3个人分着喝，平均每人喝了多少升呢？

   生（大笑）：200÷3=200/3（升）

   师：现在你又有什么发现？

   生：我发现求每份是多少升，需要用总数÷份数，跟总数是多少有关系。

   生：我来总结一下，如果是问每份和总数的关系，就把总数看作单位“1”，总数多也好、少也好都是单位“1”，所以跟总数是多少没有关系。如果是问每份到底是多少升，需要用总数÷份数，总数多，每份就多，总数少，每份就少，所以跟总数是多少有关系。

   师：如果除不开，商就可以——

   生：用分数来表示。