直观表征      理解意义  

——“分数的意义”教学札记

   分数的意义是数意义的一次拓展，是小学数学教学中的重要基础内容。尽管之前学生已经系统认识了小数和初步认识了分数，有了一定的知识经验基础，但理解“整体”、“单位‘1’”、分数单位等抽象概念还是有一定困难的。波利亚指出：“抽象的道理是重要的，但要用一切办法使他们看得见、摸得着。” 教学中，教师应放手让学生自主表征分数，并结合学生个性化的表达呈现，引导学生经历从“平均分一个物体产生分数”到“平均分一些物体产生分数”再整合为“平均分一个整体产生分数”的分数意义的逐步拓展过程，实现对分数本质的理解。

教学片断一：

   揭示课题：分数

   师（板书1/4）：关于1/4，你都知道些什么？

   生1：1是分子，4是分母，横线叫做分数线。

   生2：把一个蛋糕平均分成4份，每份就是它的1/4。

   师：你能用画图的方法表示1/4吗？

   学生尝试画图表征，同桌交流如何表示1/4。

   展示学生作品：

   让生逐一介绍自己的想法，并引导学生用“把××平均分成×份，表示这样的×份，就是1/4。”的规范语言表述1/4的含义。

   出示：用4个圆中的1个表示1/4的方法

   师：像这样，用4个圆中的1个能用1/4表示吗？

   生1：不能，这4个圆没有连在一起，不是一个整体。（生1的发言赢得了绝大多数同学的赞同）

   生2：我觉得可以看成一个整体，比如把这4个圆看作4个苹果，装在一个盘子里，不就是一个整体吗？

   师：4个苹果装在一个盘子里为什么就可以看成一个整体呢？

   生2：因为它们装在一个盘里，就可以看成一个整体。

   师：有道理吗？

   生：有道理。

   师：确实，如果以“盘”为单位，4个苹果是“一盘苹果”，可以看作一个整体，那么，这一盘中的4个苹果都长得连在一起吗？

   生（笑）：没有。

   师：看来并不是非得连在一起才能称为一个整体。再举个例子，我们五（1）班这29名同学能看作一个整体吗？

   生：我们是一个班级的，以班级为单位就是一个整体。

   师：那我们全校的900多名学生能看作一个整体吗？

   生：能，因为是一个学校的，以学校为单位就是一个整体。

   师：还可以把什么看作一个整体？

   生：把13亿中国人看作一个整体

   生：把地球人都看作一个整体

    ……

   师：把4个圆看做一个整体，平均分成4份，这1个圆就是这个整体的一部分，也可以用1/4表示（顺势把4个圆用集合圈圈起来，再用虚线展示平均分的过程）涂色部分用1/4表示，那空白部分可以用哪个分数来表示呢？

   生：3/4。

   设计意图：课始，抓住新旧知识的衔接点，设计“自主表征1/4”的数学活动，唤醒学生的已有知识经验。然后，利用学生已有的经验顺势而导，通过图形表征和语言表达的对照，借助几何直观把抽象的概念变得直观、形象，促进了学生从一个物体的1/4到4个物体的1/4的认知拓展，实现了经验的加工改造和知识的自然生长。

教学片断二：

   师：除了把1个物体、4个物体平均分之外，还能不能把更多数量的物体平均分，表示出1/4呢？请你画图试一试。

   学生再次尝试画图表征，然后全班交流如何表示1/4。

   展示学生的作品，请学生按照“把××平均分成×份，表示这样的×份”的语言范式介绍自己是怎样表示1/4的。

   生1：我是把8个三角形平均分成4份，每份是2个三角形，就是它的1/4。

   生2：我是把12颗星星平均分成4份，每份是4个星星，就是它的1/4。

   （一起呈现若干表示1/4的图示）

   师：这些图中的涂色部分都表示1/4，它们有什么不同的地方？

   生：每份的数量不一样，一个正方形的1/4是一小部分，而4个圆的1/4是1个圆，8个三角形的1/4是2个三角形，12颗星星的1/4是3颗星星。

   生：平均分的物体的数量也不同，有的是1个、有的是4个，有的是8个，有的是12个。

   师：同样是1/4，有的是把1个物体平均分，有的是把一些物体平均分。有什么相同的地方呢？

   生；都是平均分成了4份，取了其中的1份。

   师：无论是一个物体，还是一些物体，只要把它们看作一个整体，平均分成4份，这样的1份就是它的1/4。一个整体的数量不同，它的1/4表示的具体数量也就不同。

   设计意图：尽管三年级时学生对“几个物体中的一个也是几分之一”有了初步的感知，但学生的这种感知基本上是无意识的，“一个整体”的观念尚未建立，对分数的理解也还只是停留在以举例描述的方式来形象地认识和感知的层面，尚不能抓住分数意义的本质。基于此，本环节通过让学生自主表征更多物体的1/4，并以学生差异性的资源为学习素材，思考“都是1/4，它们有什么不同的地方？”“又有什么相同的地方？”，促进学生深入理解分数的意义。