关于“植树问题”的思考与教学建议

    近日，参加了一次有关“植树问题”的教学研讨活动，并应邀提出了自己的几点思考与教学建议：

    思考一：究竟何者应当成为“数学广角”内容的重点？

    数学课程的一个重要目标就是让学生感受与领悟数学中蕴含的基本数学思想方法以及重要的数学思维方式，而“植树问题”这一内容中就蕴含着丰富的数学思想方法，其中尤以“模型思想”最为突出。

    数学模型是用数学符号、数学式子、图形等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是“借用数学的语言讲述世界的故事”（史宁中语），是现实世界的简化且本质的描述。

    利用数学方法解决实际问题时，首先需要建立数学模型，建模解决实际问题的过程，就是将实际问题除去非本质因素，抽象成数学问题进而运用数学解决问题的过程。

    因此，“数学广角”内容的教学不宜在难度上做文章，不能停留在“解题训练”的层面，一味地让学生解决更难、更深奥的题目，而应当在深度上下功夫，引导学生感悟到情境背后蕴含的基本思想方法，帮助学生学会数学地思维。 

    思考二：“植树问题”的实质、内涵是什么？

    “植树问题”是一类问题的统称，可以归结为同一个数学模式，就是“点与段之间的对应关系”，统称为“植树模型”，其本质就是点与段之间的对应问题。

   “模式建构（与应用）”与“一一对应”的思想要比“植树问题三种情况的区分”更为重要。只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况，根本无须归纳出所谓的“关系式”并要求学生熟记。需要强调的是，归纳出的“关系式”并不是真正意义上的“数学模型”，只是显性的“知识点”。让学生熟记这些“知识点”并分类型套用公式去解题，只是徒增学生的记忆负担，并不能发展学生灵活解决问题的能力。

    思考三：怎样从“植树问题”建构起“植树模型”？

    建构数学模型指“从数学的角度，对研究的问题作一个模拟，舍去无关因素，保留其数学关系，以形成某种数学结构”。 建构”植树模型”大致可以分为如下三个步骤：

    1.简化问题：把现实世界中的“植树问题”抽象成“树”（点）和“间隔”（段）的对应问题；

    2.寻求联系：建立“设路灯、爬楼、锯木、排队”等问题之间的联系，构建数学模型；

    3.应用模型：扣回现实情境，利用点段关系解决问题。

    儿童“与其学数学，不如学数学化”（弗赖登塔尔语）。数学模型的构建是为了解决实际的问题，而构建数学模型这一活动，本身应是一种对数学知识和现实背景的再创造。

    这也再次提醒我们，只有“让学生掌握以思想方法作灵魂的数学知识，才能把数学‘教懂’、‘教活’、‘教深’”。