“乒乓球与盒子”教学设计与思考

                  

教学内容：北京版四年级下册“乒乓球与盒子”

教学思考：

    “乒乓球与盒子”这一节的内容其实就是数学上有名的“抽屉原理”。“抽屉原理”看似简单，但因为其实质是揭示了一种存在性，比较抽象，要让四年级的小学生建构起自己的实质性理解，还是很有挑战性的。

    首先，“抽屉原理”的精练表述，明显超出了一般人的抽象概括能力。对“总有一个抽屉里放入的物体数至少是多少” 这样的表述，学生不易理解，教学中学生也很难用“总有”、“至少”这样的语言来陈述。

    第二，“抽屉原理”研究的是物体数最多的一个抽屉里最少会有几个物体，只研究它存在这样一个现象，不需要指出具体是哪一个抽屉，也就是说，对“抽屉”是不加区分的。而小学生容易受到思维定式的影响，理解起来有难度。在枚举时会把（2、1、1），（1、1、2），（1、2、1）理解成三种不同的情况。

    基于以上分析，教学时要注意分散难点，鼓励学生借助画示意图等直观的方式逐步理解。同时，在交流中引导学生对“枚举法”等方法进行比较，使学生逐步学会有序思考，做到“不重复、不遗漏”，发展学生的思维能力。在此基础上，引导学生观察、比较，概括出各种方法的“共同特点”：总有一个盒子里至少放了2个苹果。

教学目标：

    1、在具体的情境中，学会运用“枚举”等方法解决问题，初步感知抽屉原理的基本内容，即当m+1个物体放入m个抽屉中，总会有一个抽屉中放进了至少2个物体。

    2、初步经历简单的“数学证明”过程，为今后的学习积累必要的活动经验。

    3、在解决问题的过程中，感受数学知识的趣味性和魅力。

教学重点：通过枚举的方法解决问题

教学难点：通过分析“最不利的情况”来验证结论，初步经历数学证明的过程。

教学过程：

一、情境引入。

    师：虽然我对大家的生日是哪一天不是很清楚，但我肯定在我们班的32人当中，一定至少有2个人是在同一天出生的。相信吗？要不我们就来调查一下？

   （现场调查学生）

    师：看，我说的对吧？当然，“至少有2位同学是在同一天出生的”这句话并没有规定必须是几月份，反正“一定有一天至少有2位同学出生”，所以，这个数据不管是在哪个月份出现，都能证明老师的话是正确的。老师为什么能料事如神呢？到底有什么秘诀呢？学习完这节课以后大家就知道了。

   （反思：课始的导入引出了话题，也引发了数学思考，使学生初步感知“抽屉原理”，初步渗透了“不管怎样”、“总有“、”至少”等概念。将数学学习与现实生活紧密联系，激起了学生探究新知的欲望。）

二、探究原理。

    活动一：有3个乒乓球要放到两个盒子里，会有几种放法呢？

    师：你可以在纸上画一画、写一写，看看有几种放法？

    学生思考，摆放、画图，全班交流。
    盒子     盒子

     2        1

     1        2  ×

     3        0

     0        3  ×

    师：在我们今天的研究中，把（1，2）和（2,1）看作一种情况，一个盒子里放2个，另一个盒子里放1个，不再区分盒子了。

    师：在这两种放法中，装得最多的那个盒子里要么装有2个乒乓球，要么装有3个，还有装得更少的情况吗？

    生：没有。

    师：也就是说，装得最多的盒子里至少装——

    生：2个。

    师：装得最多的那个盒子一定是第一个盒子吗？

    生：不一定，哪个盒子都有可能。

    师：不管哪个盒子，一定有一个盒子里至少装2个。

   （板书：一定有一个盒子里至少装有2个球。）

   （反思：怎样帮助学生理解抽屉原理模型中的“不管怎么放”、“总有一个”、“至少”等词语表达的意思呢？在上述教学中，先让学生动手操作、画图，找出“把3个球放进2个盒子里”的所有分放方法，目的是让学生真正体会并得到所有的分放方法。接着，通过教师的追问，引导学生体会、理解“不管怎么放”、“总有一个”、“至少”的含义，为自主探究解决问题扫清了障碍。）

    活动二：把4个球放进3个盒子里呢？有几种放法？

    师：下面我们继续研究，如果把4个球放进3个盒子里，有几种放法呢？想一想，在我们罗列所有方法时，有没有好方法能够保证不遗漏、不重复呢？

    学生探索，小组交流后全班交流：

    盒子      盒子      盒子

     4         0         0

     3         1         0

     2         2         0

     2         1         1

    师：有序思考，有规律地找到所有的方法，做到不重复、不遗漏。

观察这些方法，你有什么发现？

    生：不管怎么放，一定有一个盒子里至少装有2个球。

    活动三：如果把5个乒乓球放进4个盒子里，会发生什么情况？

    师：先猜测一下，

    生：不管怎么放，总有一个盒子里至少放进了2个球。

    师：你能想办法来验证你的猜想吗？试试看。

    学生自主研究，全班交流。

    生：罗列出所有的放法

    盒子     盒子    盒子    盒子

     5        0       0       0

     4        1       0       0

     3        2       0       0

     2        2       1       0

     2        1       1       1

    所有的情况都能够证明总有一个盒子里至少放了2个球。

    师：还可以找“最不利”的情况，先把所有的乒乓球平均分，每个盒子里只放一个，最后还剩下一个球，这个球不管怎么放，总有一个盒子里会放进2个球。连最不利的情况都能够保证结论成立，那么这个想法一定是正确的。

   （反思：适时地补充解决问题的策略，让学生了解更严谨的证明思路，为学生今后的学习提供必要的帮助。）

    师：如果把6个球放进5个盒子里呢？把7个球放进6个盒子里呢？……你发现了什么？

    生：我发现球的个数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2个球。

   （反思：有了前面几个例子研究的基础，再通过类推引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的基本原理，概括得出一般性的结论：只要放的乒乓球数比盒子数多1，总有一个盒子里至少放进2个球。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。）

    师：同学们的这一发现，称为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。

三、应用原理。

    师：学习了“抽屉原理”，你现在能解释“为什么咱们班的32人中至少有2位同学是在同一天出生的”吗？

    学生思考，讨论。

    生：一个月最多有31天，相当于有31个抽屉，可是我们有32个人，这样总有一个抽屉里至少有2个人，所以至少有2个人是在同一天出生的。

    师：说得真好！看来你们已经掌握了这个秘诀了。

   （反思：不但前后呼应，浑然一体，而且使学生体验到了学习的成就感。）

四、全课总结。