第一单元  20以内的退位减法   教材分析

本单元在一年级（上册）《20以内的进位加法》的基础上编排，是20以内数的最后一个教学内容。计算20以内的退位减法是全单元的教学重点，学生在学会计算的过程中，将进一步理解减法的意义，较好地利用减法解决简单的实际问题。教材分成三段编排（如下表）。

从上表可以看到，教材把20以内退位减法的内容编排与20以内进位加法相对称，这是为了充分利用进位加法这块教学资源，把减法计算与加法有机联系起来，加强对减法意义的体会。教材在三块内容里各配置一个练习，目的是促进学生计算能力和解决实际问题能力的及时形成。

1. 教学十几减9，让学生充分经历探索算法的过程，在尊重各种算法的前提下，引导学生联系“9加几”算“十几减 9”。

十几减9的退位减法一共有8道算式，例题教学13－9，其他7道算式在“想想做做”第1～3题里陆续教学。学生经过20以内进位加法的学习，不但掌握了这些加法的计算方法，而且积累了通过实物操作探索算法的经验，这就为主动学习退位减法创造了条件。

（1） 例1通过图画和对话，创设了“从13个桃里去掉9个，求还剩多少个”的问题情境，引导学生列出算式13－9，并操作学具，探索算法。

学生的操作通常会出现三种情况。一是“去掉9个桃”的过程不尽相同，有人直接从盒子里去掉9个，有人先去掉盒子外面的3个，再从盒子里去掉6个，不同的操作会形成不同的思路与算法。二是学生比较关注操作的结果，不去细致体会去掉桃的过程，以至于结果正确，过程含糊，会影响算法的抽象。三是大多数人不会想到“9加（4）得13”，也就不会利用加法计算减法。

教材鼓励所有学生主动探索，尊重他们的思考，呈现了交流各种方法的情境。教学时，要引导学生整理自己的操作步骤，并且有条理地说出自己的计算思考。如先把盒子里的10个减去9个，再把盒子里剩下的1个与盒子外的3个合起来（这就是“破十法”）；又如 先减去盒子外面的3个，再从盒子里的10个减去6个（这就是“平十法”）。像这样的整理应该反复进行几次，使学生动手、动脑、动口，以形象思维为基础，理出自己的思路与方法，也理解他人的想法与算法。

（2） 计算退位减法的各种算法中，“算减法、想加法”是一种很好的方法。因为这种算法体现加、减法的联系，凸显减法的意义，能够很快算出退位减法的差，还能促进学生更好地掌握进位加法。但是，学生借助操作学具进行计算，一般不会想到用加法算减法。为此，对教学提出三点建议。

第一，学生操作学具，如果只想到“破十法”和“平十法”，没有人想到用加法算减法，应该在充分整理和交流“破十”和“平十”两种算法以后，把去掉的9个桃放在一边，剩下的4个桃放在另一边，引导学生分析“13个桃被分成了哪两部分”，想想“哪两部分合起来是13个桃”；用带括线和问号的图画表示“原来个数”“去掉个数”“剩下个数”三者之间的关系，帮助学生感悟“因为9加（4）得13，所以13减9是4”。

       9个                  ？个

○○○○○○○○○        ●●●●

                13个

第二，要把“算减法、想加法”与学生已有的“破十法”“平十法”有机融合起来，在他们已有算法的基础上像上述的那样，演变出用加法算减法的思路。绝不能把“算减法、想加法”作为一种单独的方法灌输给学生，勉强他们照这样计算。否则，“算减法、想加法”会冲击学生刚刚形成的“破十法”和“平十法”，导至学生一种方法都没有学会。

第三，教学“算减法、想加法”以后，要允许一部分学生用这种方法计算，另一部分学生用其他方法计算。教材在后面的教学中，还会逐渐引导、逐步加强“算减法、想加法”的。

   （3）“你喜欢哪种算法？”应该是宽松的、民主的、发自学生内心的算法选择。首先，允许学生选择算法，决不是学生个体的“一题多解”，千万不能让每一名学生既用“破十法”，又用“平十法”以及“算减法、想加法”去计算同一道题。其次，虽然本单元教学的整体设计是希望学生能够自觉地“算减法、想加法”，但例1还不宜过分强调这种算法，而排斥别的算法。在“想想做做”里能够看到教材的如下安排：第1题在小棒图上“先圈一圈，再计算”学生还能重温“破十”或“平十”的思路与算法。在这一题里，不要把“破十法”“平十法”和“算减法、想加法”看成对立的算法，要利用“破十”“平十”这些直接经验，理解小棒被分成两部分，这两部分合起来是小棒的总数，从总数里去掉一部分剩下另一部分，从而引导算法的转换。第2题借助有括线和问号的图画，引导学生从9加几是15，得出15减9的差；从9加几是17，得出17减9的差。这是改变计算思路的一级台阶。第3题利用加法和减法的题组，用9＋2算11－9，用9＋5算14－9，用9＋9算18－9。

  （4）“想想做做”第4题让学生通过练习初步掌握十几减9。教材把10－9、19－9与八道退位减法集中在一起，不仅联系了旧知识，还能进一步体会退位减法的特点和算法。这道题应该反复使用，暂时不要对学生提出计算速度方面的要求，而要关注计算的思路、方法和结果是否正确。可以抽出几题，要求学生说说计算时的思考。

     第5题整理十几减9，按被减数从小到大的顺序排列这些算式，学生从中会有新的发现。如相邻算式的变化，各道算式的差与被减数个位上数的联系等。这些发现渗透了函数思想，扩展了计算思路与方法，有助于学生正确算出十几减9的得数。

（5）练习一是配合十几减9安排的。第1题利用情境图再现加、减法的意义，以及十几减9的算法。要引导学生联系情境图理解算式的含义，体会加法是把两部分合起来，求一共多少的运算；减法是从总数里去掉一些，求剩下多少的运算。还要注意，第1、2两题都是填出加法算式的一个加数，以及减法算式的差，突出“想”这个加数就是“算”减法的差。这比“想想做做”里的加、减法题组稍有变化，目的是加强“算减法、想加法”的推理。

第3、4两题进行口算练习，教材避免让学生进行枯燥的练习，尽量提高各道题的练习价值，帮助学生获得更多的体验。第3题按被减数是单数，且从小到大的顺序，或者按被减数是双数，且从大到小的顺序分别排列十几减9的八道退位减法算式，学生在练习中会有新的感受。如单数减9的得数是双数，双数减9的结果是单数。又如 减数都是9，被减数大（或小）2，差也大（或小）2。第4题以顺利跳过各个树桩的情境激励学生认真计算，避免算错，培养良好的计算心理。

第5题解答图画呈现的数学问题，一方面应用十几减9解决问题，另方面还有借助括线和问号，继续引导学生“算减法、想加法”的作用。

第6题检测并反馈学生计算十几减9的情况，让教师和学生都了解这段退位减法的教学效果。可以给学生2分钟时间进行计算，要大力表扬计算正确的学生，不要过多追求计算的速度快。

第7题把十几减9融入加减混合运算之中，第8、9两题解答与十几减9有关的实际问题，都能促进学生很好地掌握十几减9的计算。

2. 教学十几减8、7，加强对算法的抽象思考，在允许多种算法的前提下，鼓励学生“算减法、想加法”。

十几减8、7在十几减9的基础上教学，学生计算十几减9的经验可以应用到十几减8、7的计算中。十几减9较多地借助实物操作或依靠操作表象进行计算，十几减8、7则把实物操作活动抽象成数的计算活动，从而使学生进一步理解和掌握退位减法。十几减8的退位减法有七道题（11－8、12－8……17－8），十几减7的退位减法有六道题（11－7、12－7……16－7），这些题分别安排在例2及其“试一试”和“想想做做”里教学。

（1）遵循规律，组织抽象思考。学生学会20以内退位减法，一般要经历“实物操作→抽象成数的运算→对同类的其他题进行计算”三个阶段。例1教学十几减9，主要在“实物操作”阶段。例2教学十几减8、7，应该是“抽象成数的运算”阶段。

例2计算15－8，承前启后，先让学生操作学具，把十几减9的学习活动经验迁移到十几减8的上面，为开展抽象思维构建平台。教材要求学生“用小棒摆一摆”，这是一种学习策略的提示。用简单的学具代替问题情境里的实物，保留的只是数学内容，排除了非数学因素。这样做，方便了操作活动的进行，其意义也可以视为一次抽象。

把操作小棒的活动抽象成数的有序运算是例2的教学重点。“破十法”和“平十法”都要分两步计算，因为相应的操作是分两步进行的。如从15根小棒中去掉8根，可以先拿掉5根，再拿掉3根，因此15－8可以先算15－5＝10，再算10－3＝7。从15根小棒里去掉8根，还可以直接从10根里拿掉8根，把剩下的2根和5根合并，因此15－8还可以先算10－8＝2，再算2＋5＝7。教材引导学生看着小棒图反思操作活动，经历抽象出数的运算的过程，在学习算法的同时发展抽象思维的能力。教学时，应该让学生在小组里或班级内反复说说15－8的计算方法，有助于他们理解算理、掌握算法。

“试一试”里的15－7和13－7，没有提供形象思维的支撑材料。教材不希望学生通过学具操作得出结果，而是鼓励他们举一反三，将例2中习得的算法应用于计算其他退位减法的题上去。教材允许学生选择自己喜欢的算法，并通过交流加强对算法的体验。教学必须注意到，学生计算退位减法，从开始时的操作学具变成有条理的数的运算，是一次了不起的提高，也是一次不简单的提高，教学的任务就在于引导学生实现这一次跨越。

“想想做做”第1题计算12－8和14－7，虽然在图上圈一圈就能看出得数，教材仍然要求学生算一算，再次把操作实物的活动抽象成数的运算，深入地体验算法。

（2）进一步引导“算减法、想加法”。在十几减9的时候，曾经教学了利用9加几计算十几减9。那时，由于初步教学这种算法，部分学生还不习惯使用。在十几减8、7时，要再一次教学“算减法、想加法”，希望更多的学生学会并喜欢这种算法。

首先，例2把“算减法、想加法”作为计算15－8的一种方法，和其他算法一起交流。这是因为有些学生在十几减9时已经学会并喜欢了这种算法，他们会用来计算15－8。教材希望通过交流，学生能够感觉到“想加法”比“破十法”和“平十法”的计算更加快捷，有更多的学生理解并接受这种算法。

其次，“想想做做”第2～5题把“算减法、想加法”的教学设计成三个层次：第2题是第一层次，直观引导下的思考。带有括线和问号的图画显示了8和？合成14,14减8就等于几；7和？合成16,16减7就得到几。第3题是第二层次，把8加几的进位加法和十几减8的退位减法，7加几的进位加法和十几减7的退位减法编成题组，让学生先算进位加法的和，再算退位减法的差，反复体会利用加法能够得到减法的结果，感受像这样计算减法很快捷。第4、5两题是第三层次，鼓励学生“算减法、想加法”。只要学生在前面两个层次里学会了“算减法、想加法”，而且对这种算法产生了兴趣，一定会有更多学生自觉应用这种方法进行计算。

练习二通过第1题和第6题继续加强“算减法、想加法”的引导。第1题是一道进位加法算一道退位减法，如 8＋□＝12,12－8＝□。第6题是一道进位加法算两道退位减法，如 7＋8＝□,15－7＝□、15－8＝□。学生发现一道进位加法能够算出两道相关的退位减法的差，就进一步体验了“算减法、想加法”的便捷，也深一步体会了减法的意义。到这时，应该是绝大多数学生习惯运用这种算法了。

另外，练习二第4题设计了表格形式的数学问题。里面的三个问题分别是：跳绳的男生9人，女生8人，一共（  ）人；一共15人拍球，其中男生9人，女生（  ）人；一共11人游泳，其中女生7人，男生（  ）人。这三个问题体现了加法的意义、减法的意义，以及加、减法的内在关系。教学应该引导学生联系具体的数量关系，体验这些数学内容。如加法把男生人数和女生人数合起来，得到一共的人数。减法从一共的人数里去掉男生（或女生）人数，得到女生（或男生）的人数。小学生的加、减法概念需要在多次这样的体验中才会逐渐形成。

第7题是检测学生计算十几减8、7的情况，仍然可以给他们大约2分钟时间，力求计算全部正确。

第8题比较一道算式和一个数的大小，要先算出算式的得数，才能判断哪个大、哪个小。第9题是连续进行的加、减计算。从涉及的知识看，都是已经教学的进位加法和退位减法，但是需要学生短时记忆算出的得数。有些学生具有短时记忆的能力，有些学生还做不到短时记忆。教学时，应该鼓励学生短时记住得数，培养短时记忆的习惯。对那些暂时记不住的学生，可以指导他们把得数写在算式的适当位置上，方便比较大小或接着进行的计算。

3. 教学十几减6、5、4、3、2，加强对减法意义的理解，更加尊重学生的算法选择。

例3及其“想想做做”教学十几减6、5、4、3、2的退位减法，一共十五道题（减6五道、减5四道、减4三道、减3两道、减2一道）。包括两方面的内容：一是减法的意义，二是减法的计算。

考虑到儿童的认知水平与能力，小学数学关于减法意义的教学，一般分成三个阶段。首先是“总数里去掉一些，求还剩多少”用减法计算，这是学生在一年级（上册）教科书里获得的减法含义。然后是“把总数分成两部分，去掉其中的一部分，求另一部分”用减法计算。最后是“已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数”的运算。本单元练习二的个别习题，已经渗透了减法意义的第二阶段内容，

例题呈现了11个蘑菇的情境图，提出两个问题，分别是“蓝蘑菇6个，花蘑菇多少个？”“花蘑菇5个，蓝蘑菇多少个？”蘑菇总数由蓝蘑菇个数和花蘑菇个数两部分合成，解答这两个问题都用减法。即从蘑菇总数里去掉蓝蘑菇个数，得到花蘑菇个数；去掉花蘑菇个数，得到蓝蘑菇个数。这就是学生应该达到的对减法意义的认识程度。

“想想做做”第1题用图画呈现“左边8个排球”“右边6个排球”，要求学生看图写出两道减法算式：14－□＝□、14－□＝□。第5题白兔和黑兔一共13只，已知黑兔5只，求白兔多少只？已知白兔8只，求黑兔多少只？这些题都在帮助学生形成对减法的新认识。

应该注意的是，现在的教科书里不直接给出四则计算的定义，这是因为数学课程标准规定“结合具体情境，体会整数四则运算的意义”。学生的运算概念，不一定在于他们知道并记住有关计算的定义，而在于他们对运算含义的充分体验和概括。教科书里安排大量的现实情境，给学生经常体会运算含义的机会，从而逐渐形成自己对运算的概括性认识。只要教学充分利用这些素材，学生完全能够形成四则运算的概念，这比给出定义，让学生读读记记，更有价值。

经过十几减9和十几减8、7的教学，学生基本形成了自己计算退位减法的思路和方法，并且会应用到十几减6、5、4、3、2的计算上去。退位减法作为最基础的计算，其教学要求是学生正确、迅速地说出十几减几的差。只要能算得对、算得快，使用哪种算法都可以。因此，例3给学生创设了比较大的独立计算的空间，根据要解决的实际问题，列出算式11－6和11－5以后，不规定必须使用某种算法，让学生自主选择算法。

前面曾经分析过，“算减法、想加法”比“破十法”“平十法”更有特点，它不仅能算得快，而且蕴涵着丰富的数学内容，有益于运算概念的形成，有助于进位加法和退位减法的同步熟练。所以，教材不会放松“算减法、想加法”的引导。例题、“想想做做”第1题与第2题、练习三第1题，都把两道有联系的减法算式编排在一起，如 12－9与12－3、15－9与15－6，用同一道进位加法能够得出两道退位减法的差。这些安排充分体现了教材的意图，教学应该利用这些机会，尽量使学生掌握“算减法、想加法”的思路与算法。

练习三配合十几减6、5、4、3、2编排，设计的练习重点是减法的意义和退位减法的计算。教材十分注意学生的练习积极性，把一些计算题置于有趣的情境中，如大象采椰子、给树上的苹果涂颜色等。或者置于有结构的题组里，如13分别减4、5、6，12分别减6、7、8等。这些都是教学可以利用的资源，以调动学生的非智力因素来积极参与数学学习。

4. 通过复习，使学生很好地掌握20以内的退位减法。

单元复习一共编排十道题，大致是三个部分。

第1题是第一部分，回忆整理减法的基础知识，主要是减法的意义和退位减法的计算。图书箱里有14本书，能够看到6本，其他不能直接看到。要学生补充的算式是6＋□＝14、14－6＝□。学生填出框里的数并不难，可以让他们说说每个算式的具体意思。体会加法是把两部分合起来，求一共多少的运算；减法是从总数里去掉一部分，求另一部分的运算。还可以让他们说说两道算式的联系，重温“算加法、想加法”的计算思路。在左边8个羽毛球，右边4个羽毛球的图画下面计算12－8和12－4，图画在这里的作用，也是体现减法的意义。

第2～5题是第二部分，有层次地安排了六项活动。

（1）列出退位减法表。第2题的减法表，从上往下各行依次是11减几、12减几……18减9；从左往右各列依次是十几减9、十几减8……11减2。这张减法表里已经写出了一些算式，还留出一些空格让学生填写算式。学生要在了解减法表的结构之后才能按要求把表格补充完整，这就回顾和整理了本单元教学的全部计算题。

（2）研究减法表，发现更多的规律。如果横着看表格，同一横行里的算式被减数相同，减数从左往右依次大1，差依次小1。如果竖着看表格，同一竖列里的算式，减数相同，被减数从上往下依次大1，差也依次大1。如果斜着看表格，还能发现同一斜行里的算式，被减数不同，减数也不同，差却相同（如11－8和12－9都等于3；11－7、12－8、13－9都等于4）。学生的这些发现里，渗透着减法运算性质，有利于他们很好地掌握20以内的退位减法。

   （3）在减法表上进行口算练习。第2题要求学生“任意指一道算式很快算出得数”，安排了简便易行且高效率的练习活动。这样的练习容量比较大，可以在班级里、小组内或者同桌之间进行，也可以学生单独进行。对大多数学生的要求是直接说出得数，不必详细说出思考与算法。对个别计算尚有困难的学生，要加强算法指导，让他们用适合自己的方法计算。

   （4）寻找有联系的算式。第3题以13－7和13－6为例，引导学生先寻找它们的联系，看出两个算式的减数之和刚好等于被减数，在计算时用了同一道进位加法。然后编出几组像这样有联系的算式，进一步体会加、减法的内在联系，熟练“算减法、想加法”的计算思路。

（5）写出得数相同的算式。第4题写出与11－5或16－8得数相同的其他减法算式如11－5＝13－7＝14－8，16－8＝14－6＝12－4。这是在熟练口算退位减法以及发现减法表里斜行规律的基础上进行的，对学生有一定的挑战性。学生要经历算式到得数、得数到算式的思考过程，思维有些发散。虽然有点难度，但能激发学习兴趣，对熟悉所有的退位减法很有好处。

（6）口算水平检测。第5题给出十五道退位减法题，检测学生的计算水平。数学课程标准要求学生在本单元学习结束时，或者再练习一段时间以后，能够每分钟正确计算8～10题。这是大多数学生可以达到的标准，也是继续学习数学应该具有的计算能力。对于个别暂时还达不到这个要求的学生，在后面的教学中要适当加强练习。

第6～10题是第三部分，应用退位减法解决实际问题。教材很重视让学生在实现的问题情境里感受运算的意义以及不同运算的相互联系。尤其是第6题和第10题，每一道题里都有两个小题，其中一个小题是求总数的加法问题，另一个小题是求部分数的减法问题。教学这些题，不只是学生列式计算，还要让他们说说每个算式的具体含义，想想两个小题是什么关系，丰富对加、减法意义的体验。