《植树问题》教学案例

                  旬阳县城关第二小学    涂几会           

 [案例背景]2011版课程标准版提出了十大核心概念，数学核心概念也就是学生的数学核心素养，数学核心素养是数学教学的灵魂，其中“模型思想”与学生的数学学习与以后的生活紧密相连， “模型思想的建立是学生体会与理解数学与外部世界联系的基本途径”。 数学模型是指对于一个现实对象，为了达到某种特定的目的，根据其内在的规律，做出必要的简化，再用适当的数学工具将对象转化为一个数学结构。通俗的说：数学模型就是借用数学的语言讲述现实世界的故事。  客观的讲:只有深入到“模型”“建模”的意义上的数学学习，才是一种真正意义上的数学学习。但实际的教学中，很多教师往往忽视了学生数学模型思想的培养，只注重了单纯的数学知识的传授，导致孩子们应用意识差，不会举一反三，触类旁通。因此在数学教学中培养学生的模型思想就显得尤为重要了。

如何在课堂教学中渗透模型思想呢？一般有三个步骤：1.精选问题，创设情境。2.逐步抽象，抽丝剥茧，建立模型，也就是数学化的过程。3.回归生活，拓展模型外延。

【案例内容】义务教育教科书人教版五年级数学上册--------

【案例学情及教材分析】

本章内容植树问题主要分为两种情况，一种是在直线上植树，一种是在封闭曲线上植树。在直线上植树又分三种情况，两端都栽、只栽一端，两端都不栽，这是学习在封闭曲线上植树问题的基础，同时也为学生解决生活中类似问题奠定了坚实的基础。从知识基础上说，学生虽然没有学习过这类问题，但是在实际生活中或者练习中都接触过数字较小，表达比较简单的生活原型。从学生的思维特点上看，四年级以形象思维为主，但也具备一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验，因此本节引导学生在动手操作，数形结合的基础上去探究发现总结在直线上植树问题的三种模型我认为是可行的。

【教学目标】

1．知道间隔数与棵树之间的关系，初步建构植树问题的三种数学模型，并能根据数模解决简单的实际问题。

2．利用学生熟悉的生活情境，通过合作、交流、动手操作的实践活动，让学生发现间隔数与植树棵数之间的关系，总结出三种植树模型。

3．渗透数形结合与转化的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。

【教学重点】

引导学生在观察、操作和交流中探索并发现植树问题的三种模型，并能运用规律解决实际问题。

【教学难点】

发现每种植树模型间隔数与棵树的关系。

【教具准备】

多媒体课件、表格 、20厘米长的纸条

【案例描述】

一、课前热身

1.活动一、观察手

师：我们都有一双灵巧的手，请你们伸出右手，五指张开，用数学的眼光看一看，你发现了什么？数一数，

生1：5个手指，四个指缝。

生2：4根手指间有3个指缝。

……

师：在数学上，我们把指缝即空格叫做间隔，也就是说，5个手指之间有4个间隔？间隔数为4。（师伸出4根手指、3根手指、2根手指）现在有几个间隔？

2.活动二：拍拍手

（1）拍、间隔、拍、 间隔

（2）拍、间隔、拍、 间隔、拍、间隔、拍

生听一遍后回忆拍出老师刚拍的规律，并说出什么规律。

师：生活中“间隔”随处可见，比如，每相邻两棵树之间的距离，也是一个间隔，这节课我们就一起来研究和解决一些简单的、与间隔有关的问题——植树问题。（板书课题：植树问题）

师：只要我们带着数学的眼光观察，用数学思维思考，生活中处处有数学问题。

【设计意图】手是学生最为熟悉的身体的一部分，学生通过观察手和拍手两个活动，使学生感受到生活中处处有数学，既可以激发学生的学习兴趣还可以为新知打下铺垫，暗示了“树”与“间隔数”之间的关系。

学生在能够积极参与老师设计的两个活动，从活动中发现了间隔，并且在活动中渗透了植树的三种模型，效果很好。

二、探究新知

（一）精选问题  创设情境

师：春季是植树的最佳季节，家家户户，每个单位都在为美好的环境做着贡献。政府规划要在长2000米的上宋佳岭的路上植树，每隔5米种一棵，一共要植树多少棵呢？

师：读题后，你有怎样的解题思路?

生1：我们可以动手操作，在2000米的纸上每隔5米画一棵树，最后数一数。

生2：哪有那么长的纸，不实际。

生3：我同意第二个同学的发言，我们可以先找小一点的数字研究。

师：当遇到较大，又比较麻烦的数字的时候，我们可以把它转化为比较简单的问题解决。板书“转化”

2．要在长20米路的一旁每隔5米种一棵树，一共要种多少棵树呢？你能设计出一种植树方案吗？

【设计意图】 以身边的情境带领学生进入数学思考，让学生感受到学习数学是有用的，可以激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，体会重要的数学思想“转化” 。

反思：这一步骤中，开始有学生想到用平时一些好的解题方法即动手操作，但是很快被你否定，因为不现实，就有学生想到可以将大数字转化成小数字解答。

（二）逐步抽象  建立模型

1．获取信息

师：从这份设计要求上，你能获得哪些信息？

生1：20米长的路，一边，每隔5米种一棵。

生2：小路全长20米，只栽一边。每5米栽一棵。

师：间隔5米是什么意思？

生：第1棵与第2棵减间的距离是5米，第2棵与第3棵间的距离也是5米，依次类推。

2．设计方案，动手操作

（1）清点学具（20厘米的小路，树）

（2）小组动手操作（要求：在图中画一画表示出植树的情况）

3．反馈交流

师：你们能说说自己小组的想法吗？一个人演示图片并贴在黑板一个人讲解。

生1：我们小组在这条路边每隔5米栽一棵树，就是在5米处、10米处、15米处、20米处各栽一棵，共4棵树。

师：还有不同的想法吗？

生2：我们小组在5米处、10米处、15米处各栽一棵。一共栽三棵。

生3：我们小组在0米处、5米处、10米处、15米处、20米处各栽一棵，一共栽数5棵。

师：同学们都非常厉害，解决了这个问题，方法虽然都不一样，但我认为都符合题目给出的要求。我们一起观察这三种植树的方法，你能根据三种植树的特点给这三种方法取名字吗？

生1：第一个两边都有，第二种一边有，第三种两边都没有。

生2：第一种两边都栽，第二种一边栽，第三种两边都不栽。

师：你们认为两位同学的想法可以吗？

生：可以。

师：那我们就把这三种植树方法取名叫两边都栽，第二种一边栽，第三种两边都不栽。

【设计意图】数学教学就是数学活动的教学，学生的学习应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程。积极思考、动手实践、自主探索都是学习数学的重要方式。让学生动手操作，变抽象的知识直观形象化，有利于学生对三种植树模型的分析与理解。

这一环节中，因为孩子们都积极参与，在教师做好的学具上画一画，图一图，数一数，很快得出了植树的棵树，并且各小组的方法还不一样，将三种植树模型全部都展示了出来。

4.合作探究，总结规律

（1）总结规律

明确任务

	特  点	棵数	间隔数	棵数与间隔数的关系
方案1	两端都栽	5	4	棵数=间隔数+1
方案2	只栽一端	4	4	棵数=间隔数
方案3	两端都不栽	3	4	棵数=间隔数-1

师：表格中有哪几项，你是如何理解的？

生：特点三种植树的名称，棵树可以数一数，间隔数可以数一数，关系需要我们小组谈论。

（2）小组讨论填表

（3）小组汇报反馈，建立模型

师：通过填表观察，你们小组发现了棵树与间隔数存在怎样的关系。

生1：,我们小组发现了两端都栽，棵树等于间隔数＋1；只栽一段，棵树=间隔数；

生2：我们的发现和他们的一样。

师：你们的发现呢？是否一样？两端都栽：  棵树=间隔数+1

一段栽：棵树=间隔数；两端都不栽：棵树=间隔数-1

 师：三种植树有什么相同之处：都长20厘米、都分成4段。为什么间隔数都相同？

生：段数是用总长÷间隔长

师：你能举例理解棵树与间隔数的关系吗？

生举例

（4）应用规律列式计算棵树。

（5）口答，如果有六段，两端都栽，要栽几棵树？

如果有六段，一端栽，要栽几棵树？

如果有六段，两端都不栽，要栽几棵树？

（6）小结，如何解决20米路的一边植树的问题并发现规律的？

数形结合法

2.运用规律

解决课前上宋家岭的问题

你选择方案是（      ），棵树列式为（         ）。

3.课题的引出

（1）生举例生活中的植树问题。

（2）师出示课件引出一类问题都称为“植树问题”（板书课题）

【设计意图】四年级学生既需要自主探究的空间与时间，又需要教师的引导。本节课的难点就在于对“间隔数”的理解与“棵树与间隔数的关系”的探究上，所以设计了三步，第一步集体理解“间隔数”，化解一定的学习难度，第二步小组填表，探究“棵树与间隔数的关系”，第三步口答，加深学生对难点内容的理解。三步步步深入，突破难点，同时渗透了数形结合的思想。

四、回归生活，拓展模型外延。

1.基础练习

在长是200米路的一边栽树，每隔8米栽一棵（一端栽），需要多少棵树苗呢？选择相应的算式（  ）

A、200÷8      B、200÷8+1     C、200÷8-1

2.说说每个算式属于哪一种植树情况

一座大桥长80米，在一边每隔8米安装一盏路灯

A：80÷8

B:80÷8+1

C:80÷8-1

3.排队问题

同学们做早操，某行从第一人到最后一人的距离是24米，每两人之间相距2米，这一行有多少人？

师：这里每两个人相距2米，其实就是指……？求有几人相当于求……？

4.植树问题

园林工人在长120米的公路两旁植树，每隔6米种一棵，两端都要栽，一共要种多少棵树？

【设计意图】练习是学生掌握知识，形成技能，发展思维的重要手段。针对本节课的重难点，有层次，有针对性的设计了上述的练习，目的是让学生进一步巩固新知，在理解新知的基础之上进行拓展，深化了教学内容，培养了学生思维的灵活性，使学生开阔了视野，感受到数学的魅力，体会到“数学模型”的思想。

六、课堂小结。

本节课你有什么收获？

【设计意图】让学生谈谈这节课的收获，即是对本节课知识的回顾与整理，又可以培养学生的语言概括表达的能力与自我评价的能力。

课后反思

1.体会数学思想方法

《植树问题》作为一个专题出现，与前后的知识联系都不大，课标的“双基”变为“四基”，增加了“基本思想”与“基本活动经验”，为了落实四基，本节课不但要让学生构建植树问题的数学模型，还要让学生体会领悟一些重要的数学思想方法，上宋家岭的植树问题，由于数据较大，学生在寻找解决方法是体会到“转化法”的重要作用，学生在解决20米路的一边植树，通过动手作图，寻找出规律，体会了“数形结合法”的优势。我想这对学生的影响应该是深远的。

3.关注学生的学习过程，充分发挥学生的主体作用

课标指出：要让学生充分经经历操作、比较、想象、推理、归纳、概括等数学活动与数学思考，本节课设计了一系列的数学活动，开始的热身活动，接着上进金坡的植树活动的探究，再到动手操作设计方案，再到小组合作交流活动，还有找植树问题的生活原型等活动，给予学生充足的时间与空间，让他们去说、去做、去想、去交流、比较，让他们都动起来，调动了学生的学习积极性，思维的灵活性。

3.优化了教材，关注学生的个性差异

本着优化教材的的原则，我讲三个例题内容适当的加以整合，以一个例题设计植树方案，将三种情况合为一课时进行教学。因为学生认识物体往往是从整体开始的，并且学生的思维存在个体的差异性，如果让他们设计植树方案，必将出现3种情况，在这个探究活动中，学生能够更好的理解和掌握植树问题的基本模型，沟通三种情况之间的联系，带着比较的眼光从本质上把把握了植树问题的3种模型。

4.沟通了生活与数学的关系

只要带着数学眼光去观察，带着数学思维去思考，生活中就处处有数学。从手中找数字，从拍手活动中发现数学，再到植树问题、站队问题、路灯问题、敲钟问题以及教室中的类似问题，在生活中找到了大量的植树原型，使学生真真切切感受到数学即生活，生活即数学。