1.连接OA；

2.过A作OA的垂线l。

垂线l即为所求。

证明：

因为圆的切线与过这一点的半径垂直，

所以l是切线。

得证。

1.连接AO；

2.以AO为直径作圆，交圆O于B、C点；

3.连接AB、AC并延长。

直线AB、AC即为所求。

证明：

连接OB、OC。

因为AO是直径，

AB与OB垂直，（直径所对的圆周角是直角）

所以AB是切线。（圆的切线与过这一点的半径垂直）

同理可证AC是切线。

1.连接AO，交已知圆O于B点；

2.以O为圆心，OA为半径作圆；

3.过B作BC与OA垂直，交所作的圆于C点；

4.连接CO，交已知圆O于D点；

5.连接AD。
直线AD即为所求。

证明：

因为OA=OC，OD=OB，角O是公共的，

所以三角形OAD与三角形OCB全等，（边角边）

即角ADO=角CBO，都是直角。

所以AD是切线。（圆的切线与过这一点的半径垂直）

得证。

类似方法可得到另一条切线。（本法无须依靠平行公理）

1.以A为圆心，AO为半径作圆；

2.以O为圆心，以圆O直径为半径作圆，交前圆于BC；

3.连接BO，交已知圆于C；

4.连接AC。

AC即为所求。

证明：

连接AB、AO。

因为AB=AO，BC=OC，AC是公共的，

所以三角形ABC和三角形AOC全等，（边边边）

即角ACB等于角ACO，二者是直角。

所以AC与圆O相切。

得证。

类似方法可得另一条切线。

设O₁半径为R₁，O₂半径为R₂，且R₁>R₂。

1.以O₁为圆心，R₁-R₂为半径作辅助圆；

2.过O₂作辅助圆的切线，切点为A；

3.连接O₁A并延长，交已知圆O₁于B点；

4.过B作O₁的切线l₁。

此切线即为所求，同法可作另一公切线l₂。

证明：

只需证明l₁也是圆O₂的切线。

过O₂作O₂C垂直l₁于C点。

因为O₂A是辅助圆的切线，所以O₁A与O₂A垂直。

同理，BC与O₁A垂直。

又，因为O₂C垂直l₁于C，

所以AO₂CB是矩形，且O₂C=AB=R₂。

即C在圆O₂上。

又，因为O₂C垂直l₁于C，

所以l₁是O₂的切线。

得证。

当两圆半径相等时，过O₁作O₁A与O₁O₂垂直，交圆O₁于A，过A作AB与O₁A平行即可。

1.连接O₁O₂并延长；

2.过O₁、O₂作同向的平行线，分别交圆O₁、圆O₂于A、B点；

2.连接AB并延长，交O₁O₂于C点；

3.过C作O₁的切线CD。

CD即为所求。

证明：

设圆O₁半径R₁>圆O₂半径R₂。

只需证明CD也是圆O₂的切线。

连接O₁D，并过O₂作CD的垂线O₂E，交CD于E。

因为CD是O₁的切线，

所以O₁D与CD垂直，（切线与过切线的半径垂直）

所以O₂E与O₁D平行，O₂E/O₁D=CO₂/CO₁。（平行线分线段成比例）

又因为O2B与O₁A平行，

所以O₂B/O₁A=CO₂/CO₁。

即O₂E/O₁D=O₂B/O₁A。

其中O₁D、O₁A均为圆O₁半径，O₂B为圆O₂半径，

所以O₂E也是圆O₂半径。

得证。（为简单起见，可以使O₁A、O₂B均与连心线成60度）

设O₁半径为R₁，O₂半径为R₂。

1.以O₁为圆心，R₁+R₂为半径作辅助圆；

2.过O₂作辅助圆的切线，切点为A；

3.连接O₁A，交已知圆O₁于B点；

4.过B作O₁的切线l₁。

此切线即为所求，同法可作另一公切线l₂。

证明：

只需证明l₁也是圆O₂的切线。

过O₂作O₂C垂直l₁于C点。

因为O₂A是辅助圆的切线，所以O₁A与O₂A垂直。

同理，BC与O₁A垂直。

又，因为O₂C垂直l₁于C，

所以AO₂CB是矩形，且O₂C=AB=R₂。

即C在圆O₂上。

又，因为O₂C垂直l₁于C，

所以l₁是O₂的切线。

得证。

1.连接O₁O₂；

2.过O₁、O₂作反向的平行线，分别交圆O₁、圆O₂于A、B点；

2.连接AB，交O₁O₂于C点；

3.过C作O₁的切线CD。

CD即为所求。

证明：

只需证明CD也是圆O₂的切线。

连接O₁D，并过O₂作CD的垂线O₂E，交CD于E。

因为CD是O₁的切线，

所以O₁D与CD垂直，（切线与过切线的半径垂直）

所以O₂E与O₁D平行，O₂E/O₁D=CO₂/CO₁。（平行线分线段成比例）

又因为O2B与O₁A平行，

所以O₂B/O₁A=CO₂/CO₁。

即O₂E/O₁D=O₂B/O₁A。

其中O₁D、O₁A均为圆O₁半径，O₂B为圆O₂半径，

所以O₂E也是圆O₂半径。

得证。（为简单起见，可以使O₁A、O₂B均与连心线成60度）