1.以任意点A为端点，作成任意角度的两条射线；

2.在其中一条射线上顺次截取AB、BC，分别等于a、b；

3.在另一条射线上截取AD=c；

4.连接BD；

5.过C作BD的平行线，交射线AD于E点。

DE即为所求。

证明：

因为CE与BD平行，

所以AB:BC=AD:DE。（平行线分线段成比例）

得证。

1.作线段BAC，使AB=b，AC=c；

2.以A为端点，向任意方向作线段AD=a；

3.连接CD，

4.作BC、CD的垂直平分线，交于O点；

5.以O为圆心，OB为半径作圆；

6.延长DA，交圆O于E点。

AE即为所求。

证明：

因为O是B、C、D、E的垂直平分线的交点，

所以OB=OC=OD=OE，（垂直平分线上的点到线段端点距离相等）

即B、C、D、E都在圆O上，

所以AD:AB=AC:AE。（相交弦定理）

得证。

1.作线段ABC，使AB=a，BC=b；

2.以AC为直径作半圆；

3.过B作BD垂直于AC，交半圆于D；

4.连接BD。

BD即为所求。

证明：

连接DA、DC。

因为AC是直径，

所以角ADC是直角。（直径所对的圆周角是直角）

又因为BD与AC垂直于B，

所以BD²=AB×BC。（射影定理）

得证。（亦可用相交弦定理等多种方法证明）

1.过任意一点A作射线，在其上同向截取AB=a，AC=b；

2.以AB为直径作半圆；

3.过C作AB的垂线，交半圆于D；

4.连接AD。

AD即为所求。

证明：

连接BD。

因为ACB是直径，

所以角ADB是直角。（直径所对的圆周角是直角）

又因DC与AB垂直，

所以AD²=AC×AB。（射影定理）

得证。（亦可用多种等效方法证明）

1.过B点作AB的垂线；

2.在垂线上截取一点C，使BC=AB/2；

3.连接AC；

4.以C为圆心，CB为半径作圆，交AC于D；

5.以A为圆心，AD为半径作圆，交AB于E。

点E即为所求。（AE是其中较大的一段）

证明：

设AB全长为1，所求点到A的距离为x，则

x/1=(1-x)/x，即x²+x-1=0。

由勾股定理易证点E满足上述方程。

1.连接AB并延长；

2.以A为端点，任意方向作射线；

3.在该射线上顺次截取AC=a，CD=b；

4.连接BD；

5.过C作CE平行于BD，交AB于E；

6.在射线上顺次截取AC'=a-b；

7.连接C'B；

8.过C作CE'与C'B平行，交AB的延长线于E'；

9.以EE'为直径作圆。

该圆即为所求。

证明：

设满足要求的点是F。

要保证FA/FB=a:b=AE:EB，则FE是三角形AFB的内角平分线，

且FE'是三角形AFB的外角平分线，（角平分线分对边成比例的逆命题）

即角1=角2，角3=角4，

所以，角1+角3=90度。

因此，点F在以EE'为直径的圆上。（直径所对圆周角为直角）