数学发展简史（石拓/编著）

13.2.2 平行公理问题（2）

       在古代，至少在古希腊，物理空间中能否可以假定存在无限长直线的问题，很少有人关心。但是，随着人类历史的发展，知识的积累，这个无限长直线的问题，终于成为了重要的问题。

       欧几里得（Euclid）在给出他的平行公理时，或许他自己已经意识到了问题，所以在他的平行公理叙述中，直接避开了两无限长直线不相交的说辞。后来，人们为了消除对平行公理的怀疑，因此，非欧几何的历史就此产生。

       从非欧几何的历史来看，二千多年来，回绕解决平行公理的途径有二个，一是用其余的4个公设和5个公理，来推导出平行公理；二是给出一个一目了然的新公理，用来替代平行公理。如果实现了途径一，那么平行公理就成为了定理，问题就此解决。如果实现了途径二，那么问题自然而然地解决了。

       在第一途径的研究中，比较典型的是，希腊化时代的数学家托勒密（Ptolemy，约公元90——168年），他试图通过第一途径推导出平行公理，但在推导过程中，他无意中假设了第5公设，因此没有成功。还有，希腊化时代后期，公元5世纪的数学家普鲁克鲁斯（Proclus，约公元412——485），在他的平行公理证明过程中，无意间用了一个“有问题”（与平行公理等价）的公理，替代了原有的平行公理。因此他也没有获得成功。

       在第二途径的研究中，值得注意的是，法国数学家勒让德（Legender，公元1752——1833年），他关于平行公理的研究。

       （待续）