数学发展简史（石拓/编著）

13.1.1 射影几何与度量几何（3）

       在二维的非欧几何中，直线与角和欧氏几何中的相仿，因此基本是平面几何。黎曼（Riemann）的二重椭圆几何的一个重要意义，这就是帮助了解非欧几何的意义。

       1871年，德国数学家克莱因（Felix Klein，公元1849——1925年），在他的论文中指出，可以不用曲面来获得非欧几何。

       克莱因（Klein）认为，要从射影几何推导出度量几何，必须在射影的基础上建立坐标。在此以前，德国数学家斯陶德（Von Staudt，公元1798——1867年）（上册5.3），曾给出了类似度量的东西。但是，克莱因（Klein）看了到斯陶德（Staudt）应用了欧氏（Euclid）的平行公理后，他意识到，在他所考虑的有关射影几何的度量问题中，平行公理是多余的，因此克莱因（Klein）试图放弃平行公理。

       1873年，克莱因（Klein）在他的论文中成功的做到了。如此一来，射影几何中的基本概念，诸如，四个点、两条直线以及交比等概念，都可以在纯粹的射影基础上得到定义。

       克莱因（Klein）认为，如果把凯利（Cayley）三维（用齐次坐标表示二次曲面）的绝对二次曲面（绝对形）的性质具体化，那么，将会产生双曲几何和椭圆几何。后来，他确实做到了。

       （待续）