13.1.1射影几何与度量几何（4）
2025-07-25 06:55:47
标签： 原创科技著作
数学发展简史（石拓/编著）
13.1.1 射影几何与度量几何（4）
用二维（齐次坐标表示二次曲线）平面几何和二次曲线方程是实（数）的方程为例，克莱因（Klein）得到了：
1.当二次曲线是实的时候，是罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）度量几何（见13.2），这是因为，此时的平面齐次坐标方程为x2+y2-z2=0。
2.当二次曲线是虚的时候，此时，平面齐次坐标方程为x2+y2+z2=0，这就是黎曼（Riemann）的常曲率非欧几何（黎曼几何）。
3.对于欧氏平面几何，齐次坐标中的z=0，此时的齐次坐标方程为x2+y2+0=0，它表示了无穷远圆点，它的齐次坐标是(1,i,0)和(1,-i,0）。
由此可知，度量几何的性质，可由绝对形的选择而确定。因此，度量几何是射影几何的特例。
从克莱因（Klein）的研究思路与过程来看，他的意义在于，一方面，射影几何的逻辑基础，在本质上是独立于欧氏几何；另一方面，可将欧氏几何和非欧几何，看做射影几何的特例。但是，此时的射影几何，并没有建立起完整的公理化体系。然而，克莱因（Klein）的研究结果，为公理化体系的建立，给出了方向。
（待续）
13.1.1射影几何与度量几何（4）
数学发展简史（石拓/编著）
13.1.1 射影几何与度量几何（4）
用二维（齐次坐标表示二次曲线）平面几何和二次曲线方程是实（数）的方程为例，克莱因（Klein）得到了：
1.当二次曲线是实的时候，是罗巴切夫斯基（Lobatchevsky）度量几何（见13.2），这是因为，此时的平面齐次坐标方程为x2+y2-z2=0。
2.当二次曲线是虚的时候，此时，平面齐次坐标方程为x2+y2+z2=0，这就是黎曼（Riemann）的常曲率非欧几何（黎曼几何）。
3.对于欧氏平面几何，齐次坐标中的z=0，此时的齐次坐标方程为x2+y2+0=0，它表示了无穷远圆点，它的齐次坐标是(1,i,0)和(1,-i,0）。
由此可知，度量几何的性质，可由绝对形的选择而确定。因此，度量几何是射影几何的特例。
从克莱因（Klein）的研究思路与过程来看，他的意义在于，一方面，射影几何的逻辑基础，在本质上是独立于欧氏几何；另一方面，可将欧氏几何和非欧几何，看做射影几何的特例。但是，此时的射影几何，并没有建立起完整的公理化体系。然而，克莱因（Klein）的研究结果，为公理化体系的建立，给出了方向。
（待续）