13.1.1射影几何与度量几何（2）
2025-07-14 08:02:59
标签： 原创科技著作
数学发展简史（石拓/编著）
13.1.1 射影几何与度量几何（2）
齐次坐标是指，n维空间的点(x1,x2,…,xn)，用n+1维空间的点(hx1,hx2,…,hxn,h）来表示，例如，归一化就是将n+1维空间的点(X1,X2,…,Xn,H）经过(x1/H,x2/H,…,xn/H,H/H)的变换，用(x1,x2,…,xn,1)表示，即把n+1维空间变换到H=1的n维空间。如果H=0，就表示n维空间的无穷远点。
由此可知，曲线的齐次坐标表示，并不是唯一的。因此，度量的性质不是图形本身的性质，而是图形相对于绝对形的性质。这是凯利（Cayley）用一般射影关系，来决定度量的独特思维。
测地线是沿弯曲空间最接近直线的线，球面上的测地线是大圆（过圆心的截圆），球面上两点之间的距离，在大圆上是最短的。例如地球地图上所标的经线和赤道是测地线。
1854年，黎曼（Riemann）的研究指出，只要把二维球面的测地线看成直线，那么就能实现二维的常曲率（正的）空间。黎曼（Riemann）的二维的常曲率空间，是一种二维的非欧几何，但仍是度量几何，后来被称为二重椭圆几何，或者黎曼（Riemann）几何。
（待续）
13.1.1射影几何与度量几何（2）
数学发展简史（石拓/编著）
13.1.1 射影几何与度量几何（2）
齐次坐标是指，n维空间的点(x1,x2,…,xn)，用n+1维空间的点(hx1,hx2,…,hxn,h）来表示，例如，归一化就是将n+1维空间的点(X1,X2,…,Xn,H）经过(x1/H,x2/H,…,xn/H,H/H)的变换，用(x1,x2,…,xn,1)表示，即把n+1维空间变换到H=1的n维空间。如果H=0，就表示n维空间的无穷远点。
由此可知，曲线的齐次坐标表示，并不是唯一的。因此，度量的性质不是图形本身的性质，而是图形相对于绝对形的性质。这是凯利（Cayley）用一般射影关系，来决定度量的独特思维。
测地线是沿弯曲空间最接近直线的线，球面上的测地线是大圆（过圆心的截圆），球面上两点之间的距离，在大圆上是最短的。例如地球地图上所标的经线和赤道是测地线。
1854年，黎曼（Riemann）的研究指出，只要把二维球面的测地线看成直线，那么就能实现二维的常曲率（正的）空间。黎曼（Riemann）的二维的常曲率空间，是一种二维的非欧几何，但仍是度量几何，后来被称为二重椭圆几何，或者黎曼（Riemann）几何。
（待续）