数学发展简史（石拓/编著）

12.4.3.2 巴拿赫（Banach）空间（4）

       解析延拓定理说：如果X是实线性空间，p(x)是X上的次线性泛函。若f是X的子空间Z上的实线性泛函，并且

                                             f(x)≤p(x)，x∈Z

（f在子空间Z上被p控制），则存在X上的实线性泛函

并且

 即f在整个空间X上被控制。

       解析延拓定理告诉了我们，一个在子空间上的线性连续泛函，可以延拓到整个空间上的线性连续泛函，并且保持其范数的不变。此定理对于复线性空间也成立。

       一致有界原理（或共鸣定理），也是巴拿赫（Banach）空间理论的基本定理，这是因为，许多经典的分析问题，都可以归结为这一原理，显示了泛函分析的作用。

       一致有界原理（或共鸣定理）说：如果X是巴拿赫（Banach）空间，Y是赋范空间，B（X→Y）是X到Y中的线性有界算子全体，T_n∈B（X→Y），n=1,2,…，若对于每一个x∈X，序列

                                                     {T_n·x}≤C_x

有界，C_x是与x有关的实数。那么，存在与x无关的实数C，使得对一切自然数n，有

 一致有界。

       一致有界原理在经典分析中的一个著名应用是，证明了存在一个连续函数，它的傅里叶（Fourier）级数，在给定的某一点处发散。

       闭图像定理：如果X和Y是巴拿赫（Banach）空间，T是D(T)⊂X到Y中的闭线性算子。若D(T)是闭的，则T有界。

       闭图像定理说明了，一个闭算子T如果无界，那么T的定义域一定不是闭集，反之，一个闭算子T的定义域是闭集，那么T是有界算子。

       （待续）