数学发展简史（石拓/编著）

12.4.2 积分方程（2）

       随着积分方程研究的深入，因此而产生了大量的研究结果。然而，后来的事实是，大多数的结果很少有价值。不过，关于积分方程的某些推广，倒是十分地有用。

       希尔伯特（Hilbert）认为，如果傅里叶（Fourier）系数的和的平方有限，即

有穷，那么，一个函数可由它的傅里叶（Fourier）系数给出。他引进了使得

有穷的实数序列{x_n}。

       后来，匈牙利数学家里斯（Riesz，公元1880——1956 年）和英国数学家费希尔（Fischer，公元1890——1962年），他们证明了：勒贝格（Lebesgue）平方可和函数，与它的傅里叶（Fourier）系数的平方可和序列，存在1-1对应的关系。于是，就可以把平方和序列看成无穷维空间中点的坐标，这个无穷维空间成为了n维欧氏空间的推广。这样的空间，后来被称为希尔伯特（Hilbert）空间。

       因此，在希尔伯特（Hilbert）空间中，函数可以看成一个点，这个点，因为与空间坐标（平方和序列）1-1对应，所以可被空间坐标，唯一表示。也就是说，在希尔伯特（Hilbert）空间中，函数（点）可以被坐标（数）表示。于是，一种新的研究方法就此产生。这种新的方法就是如今称为的泛函分析。

       在数学的历史上，积分方程研究的一个自然的产物，就是泛函分析。泛函分析不仅给积分方程的研究提供了抽象的论，而且也适用于变分法的初步。

       （待续）