数学发展简史（石拓/编著）

12.3.5 积分概念的第二次扩充（2）

       勒贝格（Lebesgue）可积，意味着勒贝格（Lebesgue）可积函数f(x)是可和的，因此，黎曼（Riemann）可积必定是勒贝格（Lebesgue）可积。但反过来不一定成立。例如，闭区间[a,b]上的狄利克雷（Dirichlet）函数（4）：

处处不连续，因此黎曼（Riemann）不可积，但勒贝格（Lebesgue）可积，这是因为，狄利克雷（Dirichlet）函数（4），在闭区间[a,b]上有界可测，而勒贝格（Lebesgue）证明了，对于有界可测函数，必定I=J（有界可测函数是勒贝格（Lebesgue）可积）。所以函数（4）可积，并且积分值是0。

       这是因为：闭区间E=[0,1]的测度mE=1,因为有理数的测度m（E_有理数）=0（可数集的测度=0），所以E=[0,1]中无理数的测度m(E_无理数)=1（因为mE= m（E_有理数）+ m(E_无理数)=1），根据（1）有：

                       S=s=f(有理数)·m(E_有理数)+f(无理数)·m(E_无理数)

                       =1×0+0×1=0

       勒贝格（Lebesgue）积分可推广到更一般的函数，例如无界函数。无界函数可以是勒贝格（Lebesgue）可积，但不一定是黎曼（Riemann）可积。反过来也成立。

       （待续）