数学发展简史（石拓/编著）

12.3.5 积分概念的第二次扩充（1）

       20世纪初，勒贝格（Lebesgue）建立了他的测度论，随后，他引进了他的积分的理论，如今称为勒贝格（Lebesgue）积分。勒贝格（Lebesgue）积分是建立在他的测度论基础上，是积分概念的第二次扩充。

       勒贝格（Lebesgue）积分的概念是这样的：

       设f(x)是定义在区间[a,b]内可测集E上的有界函数，A和B是f(x)在E上的下确界和上确界，即A=infE、B=supE。然后，勒贝格（Lebesgue）把区间[A,B]划分成n个子区间[A,l₁][l₁,l₂]…[l_n-1,B]，其中A=l₀，B=l_n。再设E_i是E中满足l_i-1≤f(x)≤l_i，i=1,2,…,n的点集，于是，集族{E_i}中的每一个E_i是可测集，测度是m(E_i)。

       然后，作和（1）：

其中：和S与s存在上确界和下确界，即I=sup(s),J=inf(S)。随后，勒贝格（Lebesgue）证明了，对于有界可测函数，必定I=J。这个值I（或J）就是f(x)在E上的勒贝格（Lebesgue）积分（2）：

如果集合是整个闭区间，即E=[a,b]时，（2）可写成（3）：

但积分（3）的意义是勒贝格（Lebesgue）的。勒贝格（Lebesgue）他把积分区间，扩充到了可测集。

       （待续）