12.3.5积分概念的第二次扩充（3）
2025-02-27 16:39:05
标签： 原创科技著作
数学发展简史（石拓/编著）
12.3.5 积分概念的第二次扩充（3）
勒贝格（Lebesgue）可积的条件，只要求函数可测。他证明了有界函数如果是黎曼（Riemann）可积，那么它在不连续点上的测度必须为0。因此，黎曼（Riemann）可积是勒贝格（Lebesgue）可积的一种特殊情况。勒贝格（Lebesgue）积分是黎曼（Riemann）积分的推广。
例如，在傅里叶（Fourier）级数的研究中，黎曼（Riemann）证明的傅里叶（Fourier）系数公式（5）：
要求其中的函数f(x)有界可积。而勒贝格（Lebesgue）在他1903年的论文中，只要求勒贝格（Lebesgue）可积即可，他去掉了有界的条件（不考虑有界与否）。这就是，如今称为的黎曼（Riemann）—勒贝格（Lebesgue）引理。
勒贝格（Lebesgue）积分的一个重要结果是，推进了傅里叶（Fourier）级数发展。他证明了，由三角级数表示的有界函数（6）
其中的an和bn，就是傅里叶（Fourier）系数。他还给出了傅里叶（Fourier）级数收敛到f(x)的一个充分条件。
（待续）
12.3.5积分概念的第二次扩充（3）
数学发展简史（石拓/编著）
12.3.5 积分概念的第二次扩充（3）
勒贝格（Lebesgue）可积的条件，只要求函数可测。他证明了有界函数如果是黎曼（Riemann）可积，那么它在不连续点上的测度必须为0。因此，黎曼（Riemann）可积是勒贝格（Lebesgue）可积的一种特殊情况。勒贝格（Lebesgue）积分是黎曼（Riemann）积分的推广。
例如，在傅里叶（Fourier）级数的研究中，黎曼（Riemann）证明的傅里叶（Fourier）系数公式（5）：
要求其中的函数f(x)有界可积。而勒贝格（Lebesgue）在他1903年的论文中，只要求勒贝格（Lebesgue）可积即可，他去掉了有界的条件（不考虑有界与否）。这就是，如今称为的黎曼（Riemann）—勒贝格（Lebesgue）引理。
勒贝格（Lebesgue）积分的一个重要结果是，推进了傅里叶（Fourier）级数发展。他证明了，由三角级数表示的有界函数（6）
其中的an和bn，就是傅里叶（Fourier）系数。他还给出了傅里叶（Fourier）级数收敛到f(x)的一个充分条件。
（待续）