数学发展简史（石拓/编著）

12.3.4 测度论（2）

       1887年，为了克服外容量概念的局限性，意大利数学家皮亚诺（Peano，公元1858——1932年），他在他的《无穷小计算的几何应用》（1887年）一书中，给出一个经过改良后的容量概念。皮亚诺（Peano）的容量概念，包含了内容量和外容量，即保留了原有概念中的外容量，引进了内容量。内容量是指，覆盖在点集E上子集的最小上界（上确界sup）。如果当内、外容量相等时，这个值，对于一维空间而言是长度，若是二维空间就是面积。

       例如，一个二维区域，内容量是区域内所有内积多边形区域的最小上界（上确界sup），外容量是包含这个区域的所有多变形区域的最大下界（下确界inf），如果内容量等于外容量，那么这个值就是这个区域的面积。

       对于一维点集，皮亚诺（Peano）给出了非负函数f(x)，在区间[a,b]上的黎曼（Riemann）积分，用现在的写法，就是积分 （1）：

其中：R是f(x)在[a,b]上的长度（黎曼（Riemann）和）。如果内容量与外容量相等，从（1）得（2）：

       （2）                                      sup(R)=inf(R)

（2）表明了函数f(x)可积，并且积分值由（2）给出。

       （待续）