12.3.4测度论（1）
2025-01-24 10:26:56
标签： 原创科技著作
数学发展简史（石拓/编著）
12.3.4 测度论（1）
虽然，19世纪奇怪函数的出现，给函数在不连续点上的积分带来了困难。但是，因为函数在不连续点上的长度（广延），决定了函数的可积性。因此，研究使得函数不连续点的集合（点集中的一种）的长度，成为了一个重要的课题。
数学上最初的“外容量”概念，是这样的一种思想：设E是直线上区间[a,b]中的点集，假设E可被[a,b]的子区间覆盖，使得E中的点，要么是[a,b]子区间的端点，要么就是内点，那么，把覆盖住E的子区间的长度总和的最大下界（下确界inf），称为E的外容量。
19世纪80年代，德国的数学家古斯塔夫（Du
Bois-Reymond，公元1831——1888年），哈纳克（Axel
Harnack，公元1851——1888年），康托（Cantor），以及奥地利的数学家奥托（Otto
Stolz，公元1842——1905年）等，他们把直线上的外容量概念，扩充到二维点集，甚至是n维（高维）点集。
可是过了不久，因为外容量概念的缘故，发现了有些不连续点集的函数是黎曼（Riemann）不可积。同时还发现，有界但不可积的函数存在着导数。这些发现，又困扰了数学家，因为在19世纪80年代，人们还没有认识到黎曼（Riemann）积分的概念是可以扩充的。
（待续）
12.3.4测度论（1）
数学发展简史（石拓/编著）
12.3.4 测度论（1）
虽然，19世纪奇怪函数的出现，给函数在不连续点上的积分带来了困难。但是，因为函数在不连续点上的长度（广延），决定了函数的可积性。因此，研究使得函数不连续点的集合（点集中的一种）的长度，成为了一个重要的课题。
数学上最初的“外容量”概念，是这样的一种思想：设E是直线上区间[a,b]中的点集，假设E可被[a,b]的子区间覆盖，使得E中的点，要么是[a,b]子区间的端点，要么就是内点，那么，把覆盖住E的子区间的长度总和的最大下界（下确界inf），称为E的外容量。
19世纪80年代，德国的数学家古斯塔夫（Du Bois-Reymond，公元1831——1888年），哈纳克（Axel Harnack，公元1851——1888年），康托（Cantor），以及奥地利的数学家奥托（Otto Stolz，公元1842——1905年）等，他们把直线上的外容量概念，扩充到二维点集，甚至是n维（高维）点集。
可是过了不久，因为外容量概念的缘故，发现了有些不连续点集的函数是黎曼（Riemann）不可积。同时还发现，有界但不可积的函数存在着导数。这些发现，又困扰了数学家，因为在19世纪80年代，人们还没有认识到黎曼（Riemann）积分的概念是可以扩充的。
（待续）