12.3.2点集（2）
2025-01-08 09:12:56
标签： 原创科技著作
数学发展简史（石拓/编著）
12.3.2 点集（2）
康托（Cantor）构造了一个，如今称为康托（Cantor）集的点集。
康托（Cantor）集的构造过程是这样的，他将直线上的闭区间[0,1]三等分：[0,1/3]，(1/3,
2/3)，[2/3,
3/3]，去掉开区间(1/3,
2/3)后，得到2个闭区间：[0,1/3]和[2/3,3/3]。
然后再把两个闭区间三等分：[0,1/9]，(1/9,2/9)，[2/9,
3/9]和[6/9,
7/9]，(7/9,
8/9)，[8/9,9/9]，去掉两个开区间(1/9,2/9)和(7/9,
8/9)，得4个闭区间：[0,1/9]，[2/9,3/9]和[6/9,7/9]，
[8/9,9/9]
重复上述过程到第n次，一共去掉2n-1个开区间，留下了长度为1/3n的相互隔离的闭区间2n个。在做第n+1次时，将留下的2n个闭区间继续三等分，并且去掉中间的开区间，用此法一直做下去。这样就可从闭区间[0,1]中去掉，可数个互不相交，没有公共点的开区间。此时，康托（Cantor）断言，剩下的闭区间的集合是一个闭集。这个闭集就是康托（Cantor）集。
由康托（Cantor）集的构造过程可知，此类集合是一种没有内点的完备集（没有孤立点的闭集）。
（待续）
12.3.2点集（2）
数学发展简史（石拓/编著）
12.3.2 点集（2）
康托（Cantor）构造了一个，如今称为康托（Cantor）集的点集。
康托（Cantor）集的构造过程是这样的，他将直线上的闭区间[0,1]三等分：[0,1/3]，(1/3, 2/3)，[2/3, 3/3]，去掉开区间(1/3, 2/3)后，得到2个闭区间：[0,1/3]和[2/3,3/3]。
然后再把两个闭区间三等分：[0,1/9]，(1/9,2/9)，[2/9, 3/9]和[6/9, 7/9]，(7/9, 8/9)，[8/9,9/9]，去掉两个开区间(1/9,2/9)和(7/9, 8/9)，得4个闭区间：[0,1/9]，[2/9,3/9]和[6/9,7/9]， [8/9,9/9]
重复上述过程到第n次，一共去掉2n-1个开区间，留下了长度为1/3n的相互隔离的闭区间2n个。在做第n+1次时，将留下的2n个闭区间继续三等分，并且去掉中间的开区间，用此法一直做下去。这样就可从闭区间[0,1]中去掉，可数个互不相交，没有公共点的开区间。此时，康托（Cantor）断言，剩下的闭区间的集合是一个闭集。这个闭集就是康托（Cantor）集。
由康托（Cantor）集的构造过程可知，此类集合是一种没有内点的完备集（没有孤立点的闭集）。
（待续）