12.3.2点集（1）
2024-12-30 11:04:36
标签： 原创科技著作
数学发展简史（石拓/编著）
12.3.2 点集（1）
点集，也叫空间中的点集，是集合论中的一类特殊的集合，其元素是点，是点的集合。
康托（Cantor）的1894年论文中，他考虑一条直线（一维欧几里得（Euclid）空间）上，所有的点构成的集合与整个n维空间欧氏空间Rn中所有的点构成的集合，之间的关系。康托（Cantor）的初衷是想证明，这两个集合之间没有1—1对应的关系。
可是，经过了三年左右的艰难研究后，康托（Cantor）得到的结果恰恰相反，也就是说，这两个集合是存在着1-1对应关系的。这个结论意味着，直线上实数之间的距离等数学上的量，在n维空间欧氏空间Rn中，有相应的数学量给予对应。因而，直线上（一维欧氏空间）实数之间的四则运算，在n维空间欧氏空间Rn中，也成立。因此也就表明，n维空间欧氏空间Rn是一个度量空间，并且与一维空间具有相同的结构，即距离、运算等。
康托（Cantor）的这个证明是划时代的，当他把这个结论告诉他的好友戴德金
（Dedekind）时，戴德金（Dedekind）的反应首先是“简直不敢相信”。
（待续）
12.3.2点集（1）
数学发展简史（石拓/编著）
12.3.2 点集（1）
点集，也叫空间中的点集，是集合论中的一类特殊的集合，其元素是点，是点的集合。
康托（Cantor）的1894年论文中，他考虑一条直线（一维欧几里得（Euclid）空间）上，所有的点构成的集合与整个n维空间欧氏空间Rn中所有的点构成的集合，之间的关系。康托（Cantor）的初衷是想证明，这两个集合之间没有1—1对应的关系。
可是，经过了三年左右的艰难研究后，康托（Cantor）得到的结果恰恰相反，也就是说，这两个集合是存在着1-1对应关系的。这个结论意味着，直线上实数之间的距离等数学上的量，在n维空间欧氏空间Rn中，有相应的数学量给予对应。因而，直线上（一维欧氏空间）实数之间的四则运算，在n维空间欧氏空间Rn中，也成立。因此也就表明，n维空间欧氏空间Rn是一个度量空间，并且与一维空间具有相同的结构，即距离、运算等。
康托（Cantor）的这个证明是划时代的，当他把这个结论告诉他的好友戴德金 （Dedekind）时，戴德金（Dedekind）的反应首先是“简直不敢相信”。
（待续）