数学发展简史（石拓/编著）

12.3.1 康托（Cantor）的集合论（5）

       由于实数的不可数，代数数的可数，因此康托（Cantor）断定，必定有超越数存在，这就是康托（Cantor）的关于超越数的存在性的证明。但他没有具体构造出一个超越数，因此康托（Cantor）的这一证明，属于非结构性的。

       1844年，早于康托（Cantor）的法国数学家刘维尔（Liouville，公元1809——1882年），他构造出了一个刘维尔（Liouville）数，并且证明此数不是代数数，而是超越数（上册3.2.2.1）。刘维尔（Liouville）的证明属于结构性的。不过，至少到目前为止，人们所发现的超越数极少，而且证明一个数是否超越数，并不容易。

       康托（Cantor）证明了实数的不可数，代数数的可数，这就意味了超越数（无理数的子集），不仅有无穷多个，而且暗示了超越数集是一个不可数集，因此超越数的数量大于代数数。

       康托（Cantor）的关于集合的思想，有许多问题无法用直观的方法去掌握。因此，由于康托（Cantor）的集合论，引起的争论在所难免，但作为微积分和实变函数论的基础，至少到目前为止，是最好的选择。尽管后来发现了集合论悖论，即罗素（Russell）悖论。

       （待续）