数学发展简史（石拓/编著）

12.3.1 康托（Cantor）的集合论（4）

       1874年，康托（Cantor）在他的无穷集合的论文中，他引进了可列或可数的概念（反之，就是不可列或不可数）。他把凡是能与正整数1-1对应的集合，叫做可列集，或者可数集。他说，可数集是最小的无穷集合，然后他证明了有理数集是可数的。紧接着，康托（Cantor）证明了，所有代数数的集合是一个可数集。

       接下来，康托（Cantor）给出了实数集是不可数的第一个证明。后来，他又给出了第二个证明，如今所采用的是他的第二个证明。其证明思路是，要证明全体实数R是不可数集，只要证明区间(0,1)内全体点的集合是不可数集。因此，证明的过程分为两步，首先证明(0,1)与R对等（等价），然后证明(0,1)为不可数（可列）集。用如今的写法就是：

       因为对于每一个x∈(0,1)，令f(x)=tg(πx-(π/2)，有一个对应的f(x)∈R，即，集合(0,1)和实数集R存在1-1对应关系，所以集合(0,1)与实数集R对等（等价）。

       又因为(0,1)中的每一个实数a，可以唯一地表为十进无穷小数（a）：

                                                      a=0.a₁a₂…                                            （a）      

其中a_n是0到9的不全为0的数字，

       采用反证法，假设(0,1)可数（可列），那么有（b）：

                                                 (0,1)={(a⁽¹⁾,a⁽²⁾,…)}                                   （b）   

将（b）中的a⁽ⁿ⁾表为（a），即（c）：

                                                a⁽¹⁾=0.a₁⁽¹⁾a₂⁽¹⁾…                                        （c）

                                                a⁽²⁾=0.a₁⁽²⁾a₂⁽²⁾…

                                                        …………

如果把（c）式小数中位置在对角线上的数a_n⁽ⁿ⁾（n=1,2,…），作一无穷小数（d）：

这个无穷小数，既不全为0，也不全以9为循环（即不能表示为0和1），因此它必定是，(0,1)中的某一实数（a）式的表示。

       但是，因为（d）中a与a⁽ⁿ⁾的每一个（a）式的表示，在第n位的小数a_n全都不相同，即a≠a⁽ⁿ⁾,所以(0,1)≠{(a⁽¹⁾,a⁽²⁾，…)}，这与假设矛盾。因此(0,1)是不可数（可列）集。又因为(0,1)与实数集R对等（等价），所以实数集R是不可数（可列）集。

       （待续）