数学发展简史（石拓/编著）

12.3 实变函数论

       自从17世纪微积分创立以来，到了19世纪，经过将近二百年的时间，数学家们关于微积分理论的研究，日趋完善。

       微积分是建立在函数理论基础上的一门数学分支，而积分是函数论的一个主要研究方向。这是因为，积分的本身就是一个函数，因此有些特殊的函数，基本可以通过积分的方法，或者将积分概念扩充的方法来解决。可是，到了19世纪，数学家们例举出了许多奇怪的函数，例如，是连续函数但不可导、可积函数序列的极限不可积，等等。因此，微积分的基础遇到了挑战，它的进一步发展遇到麻烦。

       因为奇怪函数的出现，动摇了微积分的基础，所以微积分要想进一步发展，必须要建立一个的坚实的基础之上。这个基础就是19世纪建立起来的集合论。

       为了认识和弄清那些发现了的奇怪函数，因此而产生了实变函数论。实变函数论是以实数理论（10.5）与集合论作为基础。把数学分析的理论作为研究对象，它包括：点集（12.3.2）的函数、序列、极限、可导、可积等等。因此，从某种意义上来说，实变函数论是黎曼（Riemann）、达布（Darboux,公元1842——1917年）等数学家的工作继续（见10.3），是函数理论的发展。

       （待续）