数学发展简史（石拓/编著）

12.2.8 简短的结语

       复变函数起源于18世纪的达朗贝尔（d’Alembert）、欧拉（Euler），以及拉普拉斯（Laplace）的工作。19世纪的柯西（Cauchy）、黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass），他们给予了这门学科的主要理论基础，使之成为一门前景广阔，极有应用价值的数学分支，他们是复变函数的主要奠基人。

       19世纪末，法国数学家古尔萨（EdouardGoursat，公元1858——1936年），他在关于沿闭围线C的柯西（Cauchy）积分定理证明中，舍弃了柯西（Cauchy）原先假设f(z)的导数f´(z)，在闭围线C内连续的条件。因为古尔萨（Goursat）发现，导数f´(z)的存在，已经是充分的了。古尔萨（Goursat）的结论是，复变函数f(z)的连续和导数存在，已经足够表达其解析性。

       在19世纪的大部分时间内，数学家对于复变函数的研究，如柯西（Cauchy）、黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）他们，以及他们的后继者，都各自沿着他们前辈的思路和方法，进行深入地研究。

       到了19世纪的晚期，柯西（Cauchy）和黎曼（Riemann）的思路和方法逐渐融合了起来，而魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的思路和方法，则可以被柯西（Cauchy）—黎曼（Riemann）所推导出来，因而魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的幂级数的思路与方法，不再被强调。因此，用现在的观点来看，复变函数中的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）方法，并不是本质的。

       原本多元实变函数的微积分研究，因为柯西（Cauchy）发现了，后来被称为的柯西（Cauchy）—黎曼（Riemann）方程，与复变函数微积分之间的联系，于是，他建立了单复变函数的理论基础。柯西（Cauchy）理论的几何表达，建立在前人的复平面之上。

       为了研究多复变函数，黎曼（Riemann）创造了黎曼面（“折叠”的平面，折线在相邻平面的z=∞处）。但是，因为黎曼（Riemann）所创的黎曼面，在实际操作中，遇到了表达和理解上的困难。后来经过当时的数学家们的努力，他们根据“球极平面射影”原理，建立了黎曼球数或黎曼球面，简称黎曼（Riemann）面。于是，复变函数的多值问题，可以在黎曼（Riemann）面上得到了很好的表达，完整了复变函数的理论基础。

       一门新学科的诞生，虽然是具有远见及知识渊博的高人所建立，虽然其中的原因早已存在，但是，我们从发现者的发现，到他们的创造，整个研究的过程可知，他们的工作充满着智慧和艰辛，非常的不容易。

       （待续）