数学发展简史（石拓/编著）

12.2.7 保角映射及其它（6）

       关于复变函数的值域研究，1897年，法国数学家皮卡（Picard，公元1856——1941年）在他的论文中，他证明了后来被称为的皮卡（Picard）定理。皮卡（Picard）定理，由小定理和大定理二个定理组成。

       皮卡（Picard）小定理说：如果函数f(z)是整函数，且不是常数，则函数f(z)的值域，或者是整个复平面，或者只去掉一个点。也就是说，任何不为常数的整函数，一定是无界的。作为比较，刘维尔（Liouville）定理说：每一个有界整函数是常数（13.1.2.1）。由此看出，皮卡（Picard）小定理发展了刘维尔（Liouville）定理。

       皮卡（Picard）大定理说：如果函数f(z)在一个孤立本性奇点的任何邻域内，对于任意的非无穷复数值A，有无穷多个z使得f(z)=A，A最多只有一个例外（不属于这个值域）。也就是说，一个函数f(z)在它本性奇点的任何邻域内，f(z)要取到所有的值A，最多可能有一个（有穷）值例外（不属于这个值域）。

       例如，f(z)=e^(1/z)是一个整函数，z取所有值，f(z)=e^(1/z)≠0，即都不能使f(z)=e^(1/z)取得0，这个0就是函数f(z)= e^(1/z)值域的一个例外（不属于这个值域）。这是因为：

 

 其中z=0是f(z)= e^(1/z)的本性奇点，但不能使得f(z)=e^(1/z)取0，所以0是这个函数值域的一个例外。

       皮卡（Picard）小定理可由大定理推出，这是因为，多项式函数和本性奇点是z=∞的解析函数，都属整函数，它们满足皮卡（Picard）定理的条件。

       皮卡（Picard）定理在复变函数论中，有着许多推论。随着19世纪的结束，数学家们把这些题目带进了20世纪。

       （待续）