数学发展简史（石拓/编著）

12.2.7 保角映射及其它（1）

       黎曼（Riemann）在1851年的博士论文中，还给出了复变函数保形映射的一些应用。关于复变函数的保形映射问题，高斯（Gauss）早在1825已经研究，他所得到的结果相当于给出：保形映射是由任何一个解析函数w=f(z)所建立的这个事实，但高斯（Gauss）只有图形的表达，没有严格的证明。当他的学生黎曼（Riemann），建立了黎曼（Riemann）面后，黎曼（Riemann）关心的是，能否把保形映射推广到黎曼（Riemann）面上。

       保形映射是这样的一种映射，如果将复变函数（1）：

（1）                                                   w=f(z)

看成一个变换，即：从Z平面上的点z通过（1），变换到W平面上的点w。现设z=x+iy，此时的（1）可写成（2）：

（2）                                            w=P(x,y)+iQ(x,y)

于是，变换（1）相当于实变函数的变换（3）：

（3）                                            P=P(x,y)，Q=Q(x,y)

假设P=P(x,y)和Q=Q(x,y)在X—Y平面上的区域D内连续，且有连续的一阶偏导数，那么，经过（3）的变换，到P—Q平面上的区域D´。这时的D´是D的一个映射的象。如果映射是1-1的，并且D中曲线的交角，在D´内大小方向保持不变，则称这种变换为保形映射。

       （待续）