12.2.6黎曼(Riemann)的多值函数(6)

2024-09-14 08:50:30
标签: 原创科技著作

数学发展简史(石拓/编著)

12.2.6 黎曼(Riemann)的多值函数(6

 

       黎曼(Riemann)面可以看成是复变函数的定义区域和值域,如果是单复变函数,定义域和值域在同一叶中,若是多复变函数,定义域和值域不一定在同一叶。而不等方程的解:

 

5                                f(w,z)<0 f(w,z)=0f(w,z)>0

 

可以确定曲面的连通性,因为只有当f(w,z)=0时,wz可以在曲面的全区域内取值,曲面是单连通的。在大于或小于0的情况下,wz在曲面上的取值受到了限制,而限制的区域就是洞眼,此时的曲面是多连通的。

 

       黎曼(Riemann)的早期,除了他的博士论文外,还在《数学杂志》上发表了四篇论文。这些论文的内容与阿贝尔(Abel)积分和阿贝尔(Abel)函数有关。

 

       由于黎曼(Riemann)的多值函数研究,搞清了多值函数中的许多概念,因此他对阿贝尔(Abel)积分具有清晰的认识。于是,他把一个黎曼(Riemann)面上的方程:

 

                                                    f(w,z)=0

 

其中,zw由一个代数方程联系,以及一个黎曼(Riemann)面上的关于wz的有理积分:

 

                                                   ∫R(w,z)dz

 

的阿贝尔(Abel)积分,分为了三类。

 

       第一类阿贝尔(Abel)积分:是包括在多连通曲面上的多值函数在内,有一些是处处有穷的积分。

 

       第二类阿贝尔(Abel)积分:是有代数的无穷积分,不是对数无穷的积分。

 

       第三类阿贝尔(Abel)积分:是对数无穷的积分。

 

       (待续)

 


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