数学发展简史（石拓/编著）

12.2.6 黎曼（Riemann）的多值函数（6）

       黎曼（Riemann）面可以看成是复变函数的定义区域和值域，如果是单复变函数，定义域和值域在同一叶中，若是多复变函数，定义域和值域不一定在同一叶。而不等方程的解：

（5）                                f(w,z)<0 ，f(w,z)=0，f(w,z)>0

可以确定曲面的连通性，因为只有当f(w,z)=0时，w和z可以在曲面的全区域内取值，曲面是单连通的。在大于或小于0的情况下，w和z在曲面上的取值受到了限制，而限制的区域就是洞眼，此时的曲面是多连通的。

       黎曼（Riemann）的早期，除了他的博士论文外，还在《数学杂志》上发表了四篇论文。这些论文的内容与阿贝尔（Abel）积分和阿贝尔（Abel）函数有关。

       由于黎曼（Riemann）的多值函数研究，搞清了多值函数中的许多概念，因此他对阿贝尔（Abel）积分具有清晰的认识。于是，他把一个黎曼（Riemann）面上的方程：

                                                    f(w,z)=0

其中，z与w由一个代数方程联系，以及一个黎曼（Riemann）面上的关于w与z的有理积分：

                                                   ∫R(w,z)dz

的阿贝尔（Abel）积分，分为了三类。

       第一类阿贝尔（Abel）积分：是包括在多连通曲面上的多值函数在内，有一些是处处有穷的积分。

       第二类阿贝尔（Abel）积分：是有代数的无穷积分，不是对数无穷的积分。

       第三类阿贝尔（Abel）积分：是对数无穷的积分。

       （待续）