数学发展简史（石拓/编著）

12.2.6 黎曼（Riemann）的多值函数（5）

       为了研究黎曼（Riemann）面上所存在的函数，黎曼（Riemann）把极点（单值函数的奇点）和支点（多值函数的奇点）作为曲面上的部分，并引进了连通性的概念。

       连通性的概念是这样的，他把连通分为两种情况。第一种情况是单连通，即：曲面上的每一条闭曲线，可以连续地收缩到一个点，也就是说，曲面上没有“洞眼”，例如黎曼（Riemann）面（去掉一点的球面）是单连通的。第二种情况是多连通：曲面上的闭曲线不能连续地收缩到一点，即有“有洞眼”的，例如平面环面是多连通的（自身就有一个洞）。多连通的个数称为连通数，“洞眼”的数目称亏格。

       因此，平面上单连通的连通数是1，没有洞眼（亏格）。对于球面而言，单连通的连通数也是1，但因为黎曼（Riemann）面是去掉一点的球面，本身就有一个洞，因此，连通数是1的球面是单连通，但有一个洞。也就是说，N个洞（亏格）的球面，连通数是N。当N=1时，就是单连通的黎曼（Riemann）面。

       在多连通的情况下，黎曼（Riemann）引进了“横剖线”的概念，用横剖线（类似折叠平面的折叠线）将多连通化为单连通。假如，用一条横剖线将多连通变成单连通，这个多连通的连通数就是2，表明原来的多连通是双连通。这时，N-1条横剖线，有连通数N，当N=1时，就是单连通曲面，没有横剖线，例如，没有洞的复平面。

       （待续）