数学发展简史（石拓/编著）

12.2.6 黎曼（Riemann）的多值函数（4）

       可是，复变函数的可微与实变函数不同，实变函数g(x)可微的条件是差商Δg/Δx的左右极限（导数）相等，而复变函数可微的条件，要求差商Δw/Δz当Δz→0时，z的每一不同路径有同一的值。因此，柯西（Cauchy）—黎曼（Riemann）方程只是必要，但不充分。

       于是，黎曼（Riemann）寻找能够在全平面上，确定复数x+iy的一个函数的条件，即，符合上述要求的条件，并希望条件越少越好。寻找的结果是，要求u=u(x,y)；v=v(x,y)满足位势方程（调和函数或拉普拉斯（Laplace）方程）（4）：

这就是说，黎曼（Riemann）要求复变函数（2），不但要有连续的一阶偏导数，还要有连续的二阶偏导数。他根据方程（3），就可得到（4）。

       这是因为，根据柯西（Cauchy）—黎曼（Riemann）方程（3）：

对于上面（4）中的第一式和第二式，有：

对（4）中的第三式，有：

 

（c）+（d）就得到（4）中的第三式。

       然后，黎曼（Riemann）给出了位势函数（4），在黎曼（Riemann）面上的一些条件，他根据这些条件来确定u=u(x,y)。当u=u(x,y)被确定后,再根据柯西-黎曼方程（2），求出v=v(x,y)，即（5）：

       这是因为：根据位势方程（4）（这里作为恰当微分的条件），上式（5）的被积函数是某个函数的恰当微分，又根据柯西（Cauchy）—黎曼（Riemann）方程（3），所以有：

       （待续）