数学发展简史（石拓/编著）

12.2.6 黎曼（Riemann）的多值函数（3）

       黎曼（Riemann）从一个全平面（叶或黎曼面）出发，他试图证明，有一个关于w和z的不可约多项式的方程（1）：

（1）                                           f(w,z)=0

属于黎曼（Riemann）面，也就是说，方程（1）中所有的w和z都在黎曼（Riemann）面上。为此，他定义了单值解析函数。

       黎曼（Riemann）定义的单值解析函数是：设（2）：

（2）                            w=f(z)=u+iv， u=u(x,y)，v=v(x,y)

是全平面（黎曼面）内的复变函数。如果f在一点及其邻域内解析，连续，可微，并且满足（柯西-黎曼方程）

那么，f(z)=u+iv是单值的。

       上面的方程（2），是函数w=f(z)为正则解析函数（正则或全纯函数）的必要条件，黎曼（Riemann）的证明思路大致是这样：因为函数（2）在z处可导，所以有（a）

存在，其中Δz→0可依不同路径。因此，可取Δx→0；Δy=0,以及Δx=0；Δy→0，得到（b）：

比较（a），（b），即得（3），这是柯西（Cauchy）以前得到过的。因此（3）后来称为柯西（Cauchy）—黎曼（Riemann）方程。

       （待续）