12.2.6黎曼(Riemann)的多值函数(3)
2024-08-27 10:03:21
标签: 原创科技著作
数学发展简史(石拓/编著)
12.2.6 黎曼(Riemann)的多值函数(3)
黎曼(Riemann)从一个全平面(叶或黎曼面)出发,他试图证明,有一个关于w和z的不可约多项式的方程(1):
(1)
f(w,z)=0
属于黎曼(Riemann)面,也就是说,方程(1)中所有的w和z都在黎曼(Riemann)面上。为此,他定义了单值解析函数。
黎曼(Riemann)定义的单值解析函数是:设(2):
(2)
w=f(z)=u+iv,
u=u(x,y),v=v(x,y)
是全平面(黎曼面)内的复变函数。如果f在一点及其邻域内解析,连续,可微,并且满足(柯西-黎曼方程)
那么,f(z)=u+iv是单值的。
上面的方程(2),是函数w=f(z)为正则解析函数(正则或全纯函数)的必要条件,黎曼(Riemann)的证明思路大致是这样:因为函数(2)在z处可导,所以有(a)
存在,其中Δz→0可依不同路径。因此,可取Δx→0;Δy=0,以及Δx=0;Δy→0,得到(b):
比较(a),(b),即得(3),这是柯西(Cauchy)以前得到过的。因此(3)后来称为柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)方程。
(待续)
12.2.6黎曼(Riemann)的多值函数(3)
数学发展简史(石拓/编著)
12.2.6 黎曼(Riemann)的多值函数(3)
黎曼(Riemann)从一个全平面(叶或黎曼面)出发,他试图证明,有一个关于w和z的不可约多项式的方程(1):
(1) f(w,z)=0
属于黎曼(Riemann)面,也就是说,方程(1)中所有的w和z都在黎曼(Riemann)面上。为此,他定义了单值解析函数。
黎曼(Riemann)定义的单值解析函数是:设(2):
(2) w=f(z)=u+iv, u=u(x,y),v=v(x,y)
是全平面(黎曼面)内的复变函数。如果f在一点及其邻域内解析,连续,可微,并且满足(柯西-黎曼方程)
那么,f(z)=u+iv是单值的。
上面的方程(2),是函数w=f(z)为正则解析函数(正则或全纯函数)的必要条件,黎曼(Riemann)的证明思路大致是这样:因为函数(2)在z处可导,所以有(a)
存在,其中Δz→0可依不同路径。因此,可取Δx→0;Δy=0,以及Δx=0;Δy→0,得到(b):
比较(a),(b),即得(3),这是柯西(Cauchy)以前得到过的。因此(3)后来称为柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)方程。
(待续)