12.2.6黎曼(Riemann)的多值函数(3)

2024-08-27 10:03:21
标签: 原创科技著作

数学发展简史(石拓/编著)

12.2.6 黎曼(Riemann)的多值函数(3

 

       黎曼(Riemann)从一个全平面(叶或黎曼面)出发,他试图证明,有一个关于wz的不可约多项式的方程(1):

 

1                                           f(w,z)=0

 

属于黎曼(Riemann)面,也就是说,方程(1)中所有的wz都在黎曼(Riemann)面上。为此,他定义了单值解析函数。

 

       黎曼(Riemann)定义的单值解析函数是:设(2):

 

2                            w=f(z)=u+iv u=u(x,y)v=v(x,y)

 

是全平面(黎曼面)内的复变函数。如果f在一点及其邻域内解析,连续,可微,并且满足(柯西-黎曼方程)

那么,f(z)=u+iv是单值的。

 

       上面的方程(2),是函数w=f(z)为正则解析函数(正则或全纯函数)的必要条件,黎曼(Riemann)的证明思路大致是这样:因为函数(2)在z处可导,所以有(a

存在,其中Δz0可依不同路径。因此,可取Δx0Δy=0,以及Δx=0Δy0,得到(b):

比较(a),(b),即得(3),这是柯西(Cauchy)以前得到过的。因此(3)后来称为柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)方程。

 

       (待续)

 


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