12.2.6黎曼（Riemann）的多值函数（2）
2024-08-21 09:02:13
标签： 原创科技著作
数学发展简史（石拓/编著）
12.2.6 黎曼（Riemann）的多值函数（2）
黎曼（Riemann）的多值函数研究，其基本思想是建立在黎曼（Riemann）曲面概念的基础上。
例如，复函数w2=z是多值（w在两个平面上）的，即：w1=z1/2和w2=-z1/2，如果用黎曼（Riemann）面表示，就是，对于黎曼（Riemann）面上同一个z，有两个值集w1和w2，为保持两个值集的分开，如果值集w1在下叶，那么值集w2就是在上叶了，显然。两叶在z=0与z=∞处连接。
可是，黎曼（Riemann）把一个曲面想象为一个折叠的平面做法，给以后的论证带来了难以理解的结论。因此，从黎曼（Riemann）提出他的曲面那时起，数学家就设法寻找一个容易理解的等价曲面。后来，确实找到了这种等价曲面，这就是根据球面上的点与平面上的点1-1对应的关系（球极平面射影），得到了用球面表示平面上复数的方法，这种方法称为“黎曼（Riemann）球数”。此法与黎曼（Riemann）的平面折叠法等价。
黎曼（Riemann）球数是这样的：在直角坐标系X-Y-Z的原点做一个球（图12.4），这个球只有顶点N(0,0,z），底部与X-Y平面没有切点，也就是在球的底部“挖去0点”的圆球，其中球面底下的那个X-Y平面是复平面。从圆球顶点N(0,0,z）朝下作直线，垂直于复平面并相交于原点的点z0，是复平面上的0点，即z0=0；过点Q与复平面相交的点z就是复平面上的一点，即z=x+iy；过圆球顶点平行于复平面的直线，与复平面在无穷远处相交，即z-=∞。这样的复平面X-Y,称为全平面。
如果有n个同心球面，组成一个同心球面组，那么就可以做出n个全平面（叶），其中n个同心球面与n个全平面（叶）1-1对应（看到的是这些数在同一平面交集在一起）。然后，把黎曼（Riemann）原来的折叠平面，变换到同心球面组，把多值函数在平面叶上的值（域），看成球面叶上的值（域），而每个球面叶上的值（域），对于多值函数来说是单值的。这样一来，对黎曼（Riemann）曲面的想象就变得容易多了。
（待续）
12.2.6黎曼（Riemann）的多值函数（2）
数学发展简史（石拓/编著）
12.2.6 黎曼（Riemann）的多值函数（2）
黎曼（Riemann）的多值函数研究，其基本思想是建立在黎曼（Riemann）曲面概念的基础上。
例如，复函数w2=z是多值（w在两个平面上）的，即：w1=z1/2和w2=-z1/2，如果用黎曼（Riemann）面表示，就是，对于黎曼（Riemann）面上同一个z，有两个值集w1和w2，为保持两个值集的分开，如果值集w1在下叶，那么值集w2就是在上叶了，显然。两叶在z=0与z=∞处连接。
可是，黎曼（Riemann）把一个曲面想象为一个折叠的平面做法，给以后的论证带来了难以理解的结论。因此，从黎曼（Riemann）提出他的曲面那时起，数学家就设法寻找一个容易理解的等价曲面。后来，确实找到了这种等价曲面，这就是根据球面上的点与平面上的点1-1对应的关系（球极平面射影），得到了用球面表示平面上复数的方法，这种方法称为“黎曼（Riemann）球数”。此法与黎曼（Riemann）的平面折叠法等价。
黎曼（Riemann）球数是这样的：在直角坐标系X-Y-Z的原点做一个球（图12.4），这个球只有顶点N(0,0,z），底部与X-Y平面没有切点，也就是在球的底部“挖去0点”的圆球，其中球面底下的那个X-Y平面是复平面。从圆球顶点N(0,0,z）朝下作直线，垂直于复平面并相交于原点的点z0，是复平面上的0点，即z0=0；过点Q与复平面相交的点z就是复平面上的一点，即z=x+iy；过圆球顶点平行于复平面的直线，与复平面在无穷远处相交，即z-=∞。这样的复平面X-Y,称为全平面。
如果有n个同心球面，组成一个同心球面组，那么就可以做出n个全平面（叶），其中n个同心球面与n个全平面（叶）1-1对应（看到的是这些数在同一平面交集在一起）。然后，把黎曼（Riemann）原来的折叠平面，变换到同心球面组，把多值函数在平面叶上的值（域），看成球面叶上的值（域），而每个球面叶上的值（域），对于多值函数来说是单值的。这样一来，对黎曼（Riemann）曲面的想象就变得容易多了。
（待续）