12.2.5椭圆函数和超椭圆积分及阿贝尔定理（5）
2024-08-15 09:05:31
标签： 原创科技著作
数学发展简史（石拓/编著）
12.2.5 椭圆函数和超椭圆积分及阿贝尔定理（5）
与椭圆积分（1）相比较，如果（1）中多项式P(x)的次数，大于或等于5次时，就称为超椭圆积分。为了区别，将（1）写成（3）：
19世纪20年代，年轻的法国数学家伽罗瓦（Galois，公元1811——1832年），将椭圆积分和超椭圆积分的范围扩展，并进行了研究。
不过，超椭圆积分开始的几个关键性步骤，是阿贝尔（Abel）在他1826年的论文中给出。阿贝尔（Abel）考虑了如下情形（4）：
其中，f(u,z)=0是一个u和z的n次代数方程，依据代数基本定理，有n个根。他将（4）定义了一个后来被称为的阿贝尔（Abel）积分。椭圆积分和超椭圆积分是阿贝尔（Abel）积分的特殊情形。阿贝尔（Abel）积分的逆函数（反演），便是阿贝尔（Abel）函数。阿贝尔（Abel）函数是超越函数。
随后，他证明了一个重要的定理，这就是后来称为的阿贝尔（Abel）定理。阿贝尔（Abel）定理是椭圆积分加法定理的推广，
1850年后，由于魏尔斯特拉斯（Weierstrass）在椭圆函数论中，提供了严密性的方法，标志了这个课题的成熟。代数函数、代数函数的积分和反函数（反演或逆函数）的发展，在此告了一个段落。后续的发展有待于新的发现与发明。
（待续）
12.2.5椭圆函数和超椭圆积分及阿贝尔定理（5）
数学发展简史（石拓/编著）
12.2.5 椭圆函数和超椭圆积分及阿贝尔定理（5）
与椭圆积分（1）相比较，如果（1）中多项式P(x)的次数，大于或等于5次时，就称为超椭圆积分。为了区别，将（1）写成（3）：
19世纪20年代，年轻的法国数学家伽罗瓦（Galois，公元1811——1832年），将椭圆积分和超椭圆积分的范围扩展，并进行了研究。
不过，超椭圆积分开始的几个关键性步骤，是阿贝尔（Abel）在他1826年的论文中给出。阿贝尔（Abel）考虑了如下情形（4）：
其中，f(u,z)=0是一个u和z的n次代数方程，依据代数基本定理，有n个根。他将（4）定义了一个后来被称为的阿贝尔（Abel）积分。椭圆积分和超椭圆积分是阿贝尔（Abel）积分的特殊情形。阿贝尔（Abel）积分的逆函数（反演），便是阿贝尔（Abel）函数。阿贝尔（Abel）函数是超越函数。
随后，他证明了一个重要的定理，这就是后来称为的阿贝尔（Abel）定理。阿贝尔（Abel）定理是椭圆积分加法定理的推广，
1850年后，由于魏尔斯特拉斯（Weierstrass）在椭圆函数论中，提供了严密性的方法，标志了这个课题的成熟。代数函数、代数函数的积分和反函数（反演或逆函数）的发展，在此告了一个段落。后续的发展有待于新的发现与发明。
（待续）