数学发展简史（石拓/编著）

12.2.4 留数的应用（2）

       如果z=a是f(z)的一阶极点，有留数计算式(1)：

 这是因为，函数f(z)的洛朗（Laurent）分解为：

其中：a是极点，f₁(z)是正则部分，f₂(z)=(1/(z-a))·a_-1是主要部分，式中的a_-1就是当z=a点时的留数R(a)。从（*）得：

                        (1/(z-a))·a_-1=f(z)-f₁(z) => a_-1=(z-a)(f(z)-f₁(z))

两边取极限：

此时，正则部分

因此得到留数计算式（1）：

       如果z=a是f(z)的m阶极点，有留数计算式（2）：

这是因为，此时函数f(z)的洛朗（Laurent）分解为：

两边同乘(z-a)^m，得:

              (z-a)^m f(z)=(z-a)^m f₁(z)+ a_-1(z-a)^m-1+a_-2(z-a)^m-2+…+a_-m(z-a)^m-m

两边同求m-1次导数，得：

两边求极限：

因为f₁(z)是正则部分，所以：

于是，就得到留数计算式（2）。（1）是（2）的特例。

       以第一种类型

为例，假设函数f(cosθ,sinθ)是cosθ和sinθ的有理函数，并且在区间(0,2π)中有界，令z=e^iθ，根据欧拉（Euler）公式：

则积分为：

其中的C是半径为|z|=1的圆周。这是因为当θ由0到2π时，z的轨迹是半径为|z|=1的圆周C。

       （待续）