8.2拉氏括号和泊松（Poisson）括号（1）
2024-06-21 10:21:24
标签： 原创科技著作
分析力学笔记（石拓/著）
8.2拉氏括号和泊松（Poisson）括号（1）
1.拉格朗日括号
在正则变换的理论中，对于变换（8-3）或（8-4），如果满足条件（8-6），那么（8-3）或（8-4）就是正则变换。为了下面讨论的方便，把变量（b）（变换后）中的哈密顿函数K（（8-7）第三式），写为：
这时，正则变换的条件（8-6）就写为（8-6-1）
考虑到变量（a）中有n个qj和n个pj；变量（b）中有n个Qi和n个Pi，j=1,2,…,n，共计4n个变量，但是，由于变换（8-3）或（8-4），即（q,p）<->（Q,P），所以在这4n个变量中只有2n个是独立的。在这2n个独立变量中，利用变换式（8-3）或（8-4），可以得到变量（a）到变量（b）之间，或变量（b）到变量（a）变分的关系式。这里不妨取变换（8-4），求得用变量（b）表示变量（a）变分δqj，j=1,2,…,n的关系式，即（8-8）：
将（8-8）代入（8-6-1）的第二式，得到用δQi和δPi表出的（8-6-1）的第二式，即（*）：
其中：
根据正则变换的条件（8-6），（*）必须是某个（母）函数F的变分，即（***）：
必较（***）两边各项的系数，得：
也就是说，（*）是某个（母）函数F的变分，必须满足上式：即（****）：
其中的F是某个（母）函数。将（**）按下标分别代入（****）的两边，算得：
同理：
即（*****）：
在（*****）中，因为Qi和Pi全部相互独立，因此：
将上式代（*****），移项算得（8-9）：
上式（8-9）的左边称为拉格朗日括号，它是变量（a）到变量（b）正则变换的关系式。如果把u=Qi，v=Pl看成是任意两个变量，并且用方括号“[]”记为拉氏括号，于是（8-9）左边的拉氏括号可写成（8-9-1）：
可以证明，拉氏括号为正则变换不变式，即（8-10）：
（8-10）
[u,v]q,p=[u,v]Q,P
（待续）
8.2拉氏括号和泊松（Poisson）括号（1）
分析力学笔记（石拓/著）
8.2拉氏括号和泊松（Poisson）括号（1）
1.拉格朗日括号
在正则变换的理论中，对于变换（8-3）或（8-4），如果满足条件（8-6），那么（8-3）或（8-4）就是正则变换。为了下面讨论的方便，把变量（b）（变换后）中的哈密顿函数K（（8-7）第三式），写为：
这时，正则变换的条件（8-6）就写为（8-6-1）
考虑到变量（a）中有n个qj和n个pj；变量（b）中有n个Qi和n个Pi，j=1,2,…,n，共计4n个变量，但是，由于变换（8-3）或（8-4），即（q,p）<->（Q,P），所以在这4n个变量中只有2n个是独立的。在这2n个独立变量中，利用变换式（8-3）或（8-4），可以得到变量（a）到变量（b）之间，或变量（b）到变量（a）变分的关系式。这里不妨取变换（8-4），求得用变量（b）表示变量（a）变分δqj，j=1,2,…,n的关系式，即（8-8）：
将（8-8）代入（8-6-1）的第二式，得到用δQi和δPi表出的（8-6-1）的第二式，即（*）：
其中：
根据正则变换的条件（8-6），（*）必须是某个（母）函数F的变分，即（***）：
必较（***）两边各项的系数，得：
也就是说，（*）是某个（母）函数F的变分，必须满足上式：即（****）：
其中的F是某个（母）函数。将（**）按下标分别代入（****）的两边，算得：
同理：
即（*****）：
在（*****）中，因为Qi和Pi全部相互独立，因此：
将上式代（*****），移项算得（8-9）：
上式（8-9）的左边称为拉格朗日括号，它是变量（a）到变量（b）正则变换的关系式。如果把u=Qi，v=Pl看成是任意两个变量，并且用方括号“[]”记为拉氏括号，于是（8-9）左边的拉氏括号可写成（8-9-1）：
可以证明，拉氏括号为正则变换不变式，即（8-10）：
（8-10） [u,v]q,p=[u,v]Q,P
（待续）