分析力学笔记（石拓/著）

8.1正则变换与哈密顿方程（3）

       为了保证正则变量在变换后仍是正则变量，设法将（3）右边的系数限制在一定的条件下，这些条件能够保证正则变量在变换后仍是正则变量。

       下面从母函数（2）出发，寻找正则变换的条件，这里不妨取（2）中第一个母函数F₁=F₁(q,Q,t)（采用（2）的其它母函数，同法可得）。

       设，变量（a）和变量（b）的哈密顿正则方程分别为（*）：

其中的H是变量（a）中的哈密顿函数，K是变量（b）中的哈密顿函数。对变量（a）到变量（b）的变换关系（8-3），即(q,p)→(Q,P)，对时间t求导数（求变量（b）的广义速度Q´和广义力F），得（**）：

在（v）中，因为一方面，母函数F_i=F_i(q,Q,t)，i=1,2,3,4的变量q，Q，t均相互独立（这表明q，Q，t之间不能相互表出），因此：

将上式及（*）的第一式代入（**），得（***）：

另一方面，引进泊松（Poisson）括号：

可以证明（见8.2），变换(q,p)→(Q,P)或(q,p)←(Q,P)是正则变换时，有泊松（Poisson）括号的关系式（****）：

根据关系式（****），得（*****）：

因为p_j、q_j和P_j、Q_j相互独立，所以有：

将上式代（*****），得（******）：

       （待续）