8.1正则变换与哈密顿方程（2）
2024-05-28 09:17:36
标签： 原创科技著作
分析力学笔记（石拓/著）
8.1正则变换与哈密顿方程（2）
接下来，寻求（8-3）或（8-4）是正则变换的条件。为了寻求（q,p）->（Q,P）或（q,p）<-（Q,P）的条件，需要建立变量q,p,Q,P以及时间t的函数关系，假设这个函数关系为（1）：
F=F(q,p,Q,P,t)
（1）
称上式（1）为母函数F。母函数F有4n个变量（n个qj、pj和n个Qi、Pi，i,j=1,2,…,n，共计4n个）。因为在这4n个变量中，由于（8-3）或（8-4）的关系，只有2n个变量是独立的，也就是说：母函数F的变量，只能是n个qj或者n个pj与n个Pi 或者n个Qi之和，两者相加共计2n个，因此母函数F的形式只能是下列4种，即（2）：
F1=F1(q,Q,t)，F2=F2(q,P,t)，F3=F3(p,Q,t)，F4=F4(p,P,t)
（2）
对上面4种形式的母函数进行全变分，分别得到（3）：
在（3）的4种形式变分中，右边第一项是变量（a）的结果，第二项是变量（b）的结果。如果变量（a）满足哈密顿正则方程，并不能保证变量（b）也满足哈密顿正则方程。也就是说，qj和pj是正则变量（满足哈密顿正则方程的变量），Qi和Pi不一定也是正则变量，反之亦然。
（待续）
8.1正则变换与哈密顿方程（2）
分析力学笔记（石拓/著）
8.1正则变换与哈密顿方程（2）
接下来，寻求（8-3）或（8-4）是正则变换的条件。为了寻求（q,p）->（Q,P）或（q,p）<-（Q,P）的条件，需要建立变量q,p,Q,P以及时间t的函数关系，假设这个函数关系为（1）：
F=F(q,p,Q,P,t) （1）
称上式（1）为母函数F。母函数F有4n个变量（n个qj、pj和n个Qi、Pi，i,j=1,2,…,n，共计4n个）。因为在这4n个变量中，由于（8-3）或（8-4）的关系，只有2n个变量是独立的，也就是说：母函数F的变量，只能是n个qj或者n个pj与n个Pi 或者n个Qi之和，两者相加共计2n个，因此母函数F的形式只能是下列4种，即（2）：
F1=F1(q,Q,t)，F2=F2(q,P,t)，F3=F3(p,Q,t)，F4=F4(p,P,t) （2）
对上面4种形式的母函数进行全变分，分别得到（3）：
在（3）的4种形式变分中，右边第一项是变量（a）的结果，第二项是变量（b）的结果。如果变量（a）满足哈密顿正则方程，并不能保证变量（b）也满足哈密顿正则方程。也就是说，qj和pj是正则变量（满足哈密顿正则方程的变量），Qi和Pi不一定也是正则变量，反之亦然。
（待续）