分析力学笔记（石拓/著）

8.1正则变换与哈密顿方程（1）

       设（a）和（b）是表示同一力学系统的两组广义坐标和广义动量（或者称为参数、变量）：

                                        q₁,q₂,…,q_n，p₁,p₂,…,p_n                              （a）

                                       Q₁,Q₂,…,Q_n，P₁,P₂,…,P_n                              （b）

如果变量（参数）（a）是时间t的函数，即q_j=q_j(t)；p_j=p_j(t)，j=1,2,…,n，那么，变量（参数）（a）和变量（参数）（b）之间的变换关系为（8-3）：

（8-3）                        Q_i= Q_i(q₁,q₂,…,q_n,p₁,p₂,…,p_n,t)，

                                     P_i=P_i(q₁,q₂,…,q_n,P₁,P₂,…,P_n,t)，i=1,2,…,n 

（8-3）的逆变换，可以由（8-3）解出，即（8-4）：

（8-4）                         q_j=q_j(Q₁,Q₂,…,Q_n,P₁,P₂,…,P_n,t)，

                                     P_j= P_j(Q₁,Q₂,…,Q_n,P₁,P₂,…,P_n,t)，j=1,2,…,n

对于变换（8-3）或逆变换（8-4），即（q,p）->（Q,P）或（q,p）<-（Q,P）来说，如果哈密顿正则方程保持不变，那么就称这种变换为正则变换。也就是说，所谓的正则变换就是：保持哈密顿正则方程不变的变换（8-3）或（8-4）。

       （待续）