分析力学笔记（石拓/著）
8.正则变换
如果不同形式的一组广义坐标，例，q1,q2,…,qn和Q1,Q2,…,Qn，都能表示一个完整力学系统的位形，那么qj与Qj，j=1,2,…,n之间，一定存在对应关系（或者叫做变换关系），即关系式（8-1）：
（8-1）
Qi=Qi(q1,q2,…,qn)，i=1,2,…,n
关系式（8-1）说，如果力学系统可以用一个坐标系的广义坐标(q1,q2,…,qn)，来确定质点在该坐标系的位置，那么通过（8-1）可以用另一坐标系的广义坐标（Q1,Q2,…,Qn），确定该质点在另一坐标系的位置。这样的用不同的坐标系，来确定同一个质点（看做一个点）坐标之间的变换，自然而然地被称为点变换。
在哈密顿正则方程中，由于广义坐标qj和广义动量pj，j=1,2,…,n，是具有独立同等地位的变量，因此可以用关系（8-2）：
（8-2）
Qi=
Qi(q,p,t)，Pi=
Pi(q,p,t)，i=1,2,…,n
进行变换。但要保证哈密顿正则方程在（8-2）的变换中保持不变。因此把这类变换称为正则（标准）变换。也就是说，所谓的正则变换就是：动力学系统按（8-2）变换，其正则方程是该变换下的不变量，或者，哈密顿正则方程不变。因此，正则变换是正则变量qj，pj 到正则变量Qj，Pj的变换。
研究正则变换的目的在于：一、试图通过变换用更为抽象的概念，来理解动力学系统中作为参数的广义坐标和广义动量的普遍意义；二、试图得到结构更为简单的力学方程，以便求解。
（待续）
8.正则变换
分析力学笔记（石拓/著）
8.正则变换
如果不同形式的一组广义坐标，例，q1,q2,…,qn和Q1,Q2,…,Qn，都能表示一个完整力学系统的位形，那么qj与Qj，j=1,2,…,n之间，一定存在对应关系（或者叫做变换关系），即关系式（8-1）：
（8-1） Qi=Qi(q1,q2,…,qn)，i=1,2,…,n
关系式（8-1）说，如果力学系统可以用一个坐标系的广义坐标(q1,q2,…,qn)，来确定质点在该坐标系的位置，那么通过（8-1）可以用另一坐标系的广义坐标（Q1,Q2,…,Qn），确定该质点在另一坐标系的位置。这样的用不同的坐标系，来确定同一个质点（看做一个点）坐标之间的变换，自然而然地被称为点变换。
在哈密顿正则方程中，由于广义坐标qj和广义动量pj，j=1,2,…,n，是具有独立同等地位的变量，因此可以用关系（8-2）：
（8-2） Qi= Qi(q,p,t)，Pi= Pi(q,p,t)，i=1,2,…,n
进行变换。但要保证哈密顿正则方程在（8-2）的变换中保持不变。因此把这类变换称为正则（标准）变换。也就是说，所谓的正则变换就是：动力学系统按（8-2）变换，其正则方程是该变换下的不变量，或者，哈密顿正则方程不变。因此，正则变换是正则变量qj，pj 到正则变量Qj，Pj的变换。
研究正则变换的目的在于：一、试图通过变换用更为抽象的概念，来理解动力学系统中作为参数的广义坐标和广义动量的普遍意义；二、试图得到结构更为简单的力学方程，以便求解。
（待续）